Теоретический материал. Одним из важнейших понятий теорий вероятностей является случайная величина.

Одним из важнейших понятий теорий вероятностей является случайная величина.

Определение 1. Величина называется случайной, если в результате испытания она может принимать любые заранее неизвестные значения.

Случайная величина бывает двух видов: дискретная и непрерывная.

Определение 2. Случайная величина называется дискретной, если она может принимать определенные фиксированные значения, т. е. такое множество, элементы которого можно пронумеровать и выписать в последовательность .

Можно привести бесконечное число примеров дискретных случайных величин, в частности: число волос на теле человека; число вызовов, поступивших на станцию скорой помощи за сутки; Число больных на приеме у врача за рабочий день; число рождаемых детей в городе за год; Число ежедневно продаваемой в магазине аппаратуры.

Рассмотрим такую дискретную случайную величину, у которой множество возможных значений конечно. Наиболее полную информацию о дискретной величине дает закон распределения этой величины.

Определение 3. Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между всеми возможными значениями этой величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины задается в табличном виде с двумя строками: в первой находится все случайные величины, во второй – соответствующие им вероятности.

			…
			…

Пример 1. В некотором институте на первом курсе 5 групп, насчитывающие соответственно 12, 11, 11, 15 и 12 студентов. Составить закон распределения случайной величины Х – число студентов в группе.

Решение:

– число студентов в группе.

=11, =12, =15.

Составим таблицу распределения:

	0,4	0,4	0,2

Как видно из примера, сумма вероятности всех случайных событий равна единице:

.

Это основное свойство дискретной случайной величины, которое используется при нахождении таблицы закона распределения.

Вторым видом закона распределения является, так называемый многоугольник распределения, который строится на основании таблицы распределения на плоскости и .

Каждой паре значений (; )будет соответствовать одна точка. Эти точки наносится на плоскости и последовательно соединяются.

Основными параметрами дискретной случайной величины являются: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Определение 4. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений каждого из всех возможных значений на соответствующие вероятности:

,

Приведем некоторые свойства математического ожидания:

1.Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной величине:

.

2.Математическое ожидание произведения постоянного множителя на дискретную случайную величину равно произведению этого постоянного множителя на математическое ожидание данной случайной величины:

.

3.Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

.

Для характеристики степени разброса возможных значений дискретной случайной величины относительно ее математического ожидания вводят понятие дисперсии дискретной случайной величины.

Определение 5. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от математического ожидания:

.

Следует отметить, что на практике дисперсию часто удобнее вычислять по формул:

.

Рассмотрим некоторые свойства дисперсии:

1.Дисперсия постоянной величины равна нулю:

.

2.Дисперсия произведения постоянного множителя на дискретную случайную величину равна произведению квадрата этого постоянного множителя на дисперсию данной случайной величины:

.

Наряду с дисперсией степень разброса возможных значений характеризуется и таким параметром, как среднее квадратичное отклонение, размерность которого совпадает с размерностью случайной величины.

Определение 6. Средним квадратичным отклонением дискретной случайной величины называется квадратный корень из ее дисперсии:

()= .

Математическая статистика – это раздел математики, изучающий математические методы сбора, систематизации, обработки и интерпретации результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей.

Математическая статистика опирается на теорию вероятностей, и если последняя изучает закономерности случайных явлений на основе абстрактного описания действительности, то математическая статистика оперирует непосредственно результатами наблюдений над случайным явлением.

Используя результаты, полученные теорией вероятностей, математическая статистика позволяет не только оценить значения искомых характеристик, но и выявить степень точности получаемых при обработке данных выводов.

Определение 1. Множество объектов, характеризуемых некоторым качественным или количественным признаком, называется статистической совокупностью.

Например, некоторое множество растворов химических соединений, которые могут различаться как по цвету (качественный признак), так и по концентрации (количественный признак).

Определение 2. Статистическая совокупность, состоящая из всех объектов, которые подлежат обследованию, называется генеральной статистической совокупностью.

Рассмотрим множество всех студентов страны, являющееся генеральной совокупностью. Но если нас интересует какой-нибудь параметр (рост, весь, температура тела, давление и т. п.), то, очевидно, крайне затруднительно провести измерение этих параметров у всех объектов совокупности, не говоря о систематизации и обработки полученных результатов.

Полное исследование генеральных совокупностей производится крайне редко, например, при переписях населения, при обследовании рождаемых детей, или всех призывников для прохождения военной службы и др.

Определение 3. Статистическая совокупность, состоящая из некоторого количества объектов, случайным образом отобранных из генеральной совокупности, называется выборочной статистической совокупностью (выборка).

Случайность отбора необходима для того, чтобы свойства получаемой выборочной совокупности наилучшим образом отражали соответствующие свойства генеральной совокупности, т. е. чтобы выборочная совокупность была представительной (репрезентативной).

При этом выборка считается случайной, если вероятности попадания в нее для всех членов генеральной совокупности равны.

Так же очень важным является число объектов в выборке. Естественно, свойства выборочной совокупности тем лучше отражают соответствующие свойства генеральной совокупности, чем больше это число. Однако увеличение выборки ведет к не совсем оправданным затратам экспериментов. Поэтому, на практике необходимо искать такое компромиссное число, чтобы используемые выборки были, с одной стороны, не слишком велики, а с другой – репрезентативны.

Пусть для изучения распределения случайной величины некоторой генеральной совокупности извлечена выборка, с числом объектов .

Допустим, в полученной выборке наименьшее значение встречается раз, следующее по величине значение - раз, и т. д. - раз.

Наблюдаемые значения называют вариантами, а соответствующие числа – их частотами.

Естественно, что сумма всех частот равна числу объектов в выборке:

. (1)

Результаты наших наблюдений можно представить в виде таблицы:

			…
			…
			…

Такую таблицу называют статистическим дискретным рядом распределения.

С помощью его можно графический изобразить наш ряд распределения, откладывая точки (; ) на координатной плоскости и соединяя их последовательно отрезкам прямых.

Подобным образом полученную ломанную называют полигоном частот.

Наряду с частотами также применяются относительные частоты , сумма которых равна единице:

. (2)

В этом случае при построении как самого дискретного ряда распределения, так и его графика в место частоты используют относительные частоты .

Решение примеров и задач (алгоритм выполнения задания):

Задача 1. В коробке лежат пронумерованные шары: 3 шара с цифрой 2; 2 шара с цифрой 4; 5 шаров с цифрой 6. Составьте таблицу распределения; постройте многоугольник распределения величины – цифра, написанная на шаре. Найдите параметры величины (; ; ()).

Решение:

Дано: –цифра на шаре. =«» - шара; =«» - шара; =«» - шаров. () -?; () -?; ()-?

Вычислим вероятности и заполним таблицу распределения:

() = ; () = ; () = .

()= + + = · + · + · =

= .

() = [ – ()]² =

= · · · · +

+ · · .

() = = = 1,7.

С помощью таблицы строим график многоугольника.

0,5

0,3

0,2

2 4 6

Ответ: () = 4,4; () =3,04; () = 1,7.

Задача 2. Изучая случайную величину - успеваемость студентов по химии, анализировали их экзаменационные оценки. Оказалось, что 21% студентов получили оценку – «2»; 10% - оценку «5». Какая часть студентов получила оценки «3» и «4», если = 3,38?

Решение:

Дано: - оценка по химии. = «» - ; =«»; =«»; = «» - . () = ; , -?

Сначала на основе исходных данных составим таблицу:

Поскольку , для нашего примера получим:

+ + + = ; + = .

Второе уравнение найдем из формулы: () = .

+ + + = · + + + · =

= + + = ; + = ;

Из полученных уравнений составим систему и решим ее:

Ответ: «» - ; «» - .

Задача 3. Случайная величина - число посетителей аптеки за ночь изменяется от 0 до 4. Закон распределения этой величины имеет вид:

	0,03	0,12	0,58	0,18	0,09

Найдите ; ; () и постройте многоугольник распределения.

Решение:

()= + + + + = · +

+ · + · + · + · = .

() = + +

+ + + = .

() = = .

С помощью таблицы строим график многоугольника.

0,58

0,18

0,12

0,09

0,03

0 1 2 3 4

Ответ: () = ; () ; () .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: