Теоретический материал. Определение 1:Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a; b) (конечном или бесконечном)

Интегралы.

Определение 1: Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на интервале X =(a; b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f (x) является производной для F (x), т.е. .
Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f (x) требуется найти функцию F (x), производная которой равна f (x).
Для того, чтобы описать все множество первообразных функции f (x), рассмотримсвойства первообразной:

1. Если функция F (x) - первообразная для функции f (x) на интервале X, то функция f (x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f (x) на этом интервале.

2. Если функция F (x) - некоторая первообразная для функции f (x) на интервале X =(a, b), то любая другая первообразная F ₁(x) может быть представлена в виде F ₁(x) = F (x) + C, где C - постоянная на X функция.

3. Для любой первообразной F (x) выполняется равенство dF (x) = f (x) dx.

Из этих свойств следует, что если F (x) - некоторая первообразная функции f (x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f (x) (т.е. функций, имеющих производную f (x) и дифференциал f (x) dx) на этом интервале описывается выражением F (x) + C, где C - произвольная постоянная.

Неопределённый интеграл и его свойства.

Определение 2: Множество первообразных функции f (x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом.
Как следует из изложенного выше, если F (x) - некоторая первообразная функции f (x), то, где C - произвольная постоянная. Функцию f (x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f (x) dx - подынтегральным выражением.

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

1. .

2. (или ).

Таблица неопределённых интегралов.

	.		.
	.		.
	().		.
	.		.
	; .		.
	.
	.		.
	.		.
	.		.
	.		; .

В формулах 14, 15, 16, 19 предполагается, что a >0. Каждая из формул таблицы справедлива на любом интервале, на котором непрерывна подынтегральная функция. Все эти формулы можно доказать дифференцированием правой части.

Дальше мы докажем, что любая непрерывная функция имеет первообразную и, как следствие, неопределённый интеграл. При изучении дифференцирования было установлено, что с помощью таблицы производных и правил дифференцирования без труда можно получить производную любой элементарной функции, и эта производная тоже будет элементарной функцией. Операция интегрирования этим свойством не обладает: даже относительно простые функции могут иметь первообразные, которые через элементарные функции не выражаются. Так, доказано, что не берутся в элементарных функциях следующие интегралы, относящиеся к классу специальных функций: - интеграл Пуассона; , - интегралы Френеля; , , - интегральные синус, косинус, логарифм.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: