Экстремум функции двух переменных.

Теорема1. (необходимое условие сущ. экстремума)

Если ф-ция z=f(x,y) в точке (х₀, у₀) имеет локал экстремума, то в этой точке обе част. Производные, если они существуют, =0 или котя бы 1 из них в этой точке не существует.

Точки, которых част. производное 1-порядка = 0, наз. стационарным. Стационарные точки и точки в которых, хотя бы 1 частное производное не сущ. наз. критическими.

Равенство нулю частного производного яв. необходимым, но не достаточным условием сущ. экстремума. Для нахождения экстремума нужно каждую критическую точку подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема2. (достаточное условие сущ. экстремума)

Пусть (х₀, у₀) – критическая точка, принадлежащая области определения функции z = f (x, y) и А=Z^”_хх(х_0, у₀), В=Z^»_xy(х_0, у₀), C= Z^»_yy(х_0, у₀).

Обозначим: =АС – В²

Тогда: 1)если >0, то функция z = f(x, y) имеет в точке (х₀, у₀) экстремум: max, если А 0, min, если А 0.

2)если функция z = f(x, y) имеет в точке (х₀, у₀) экстремума не имеет.

3)если экстремум в точке (х₀, у₀) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: