Дифференциальное исчисление.

Определение производной

Производная или от данной функции есть предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: или .

Для вычисления производной элементарной функции используются следующие формулы, полученные с помощью определения производной.

1) Производная постоянной равна нулю.

2) .

3) .

4) , где – постоянная.

Формулы 3 и 4 можно записать одной равносильной им формулой , где и - постоянные.

Свойство производной, выраженное этой формулой, называется свойством линейности. В частном случае, если , , получим, что

,

т.е. производная разности двух функций равна разности производных этих функций.

5) .

6) .

7) , где .

8) , где и .

Если , то , так как .

9) , где , и .

Если , то .

10) .

11) .

12) .

13) .

14) .

15) .

16) .

17) .

Пример 17:

а)

б)

в)

Производные высших порядков.

Производная второго порядка функции

Пример 18.

а) Найти производную второго порядка функции .

Решение. Найдем сначала производную первого порядка .

От производной первого порядка возьмем еще раз производную .

б) Найти производную третьего порядка функции .

Решение. .

Исследование функций.

План полного исследования функции:

1. Элементарное исследование:

- найти область определения и область значений;

- выяснить общие свойства: четность(нечетность), периодичность;

- найти точки пересечения с осями координат;

- определить участки знакопостоянства.

2. Асимптоты:

- найти вертикальные асимптоты , если ;

- найти наклонные асимптоты: .

Если любое число, то – горизонтальные асимптоты.

3. Исследование с помощью :

- найти критические точки, те. точки в которых или не существует;

- определить интервалы возрастания, те. промежутки, на которых и убывания функции – ;

- определить экстремумы: точки, при переходе через которые меняет знак с «+» на «–», являются точками максимума, с «–» на «+» – минимума.

4. Исследование с помощью :

- найти точки, в которых или не существует;

- найти участки выпуклости, т.е. промежутки, на которых и вогнутости – ;

- найти точки перегиба, т.е. точки при переходе через которые меняет знак.

5. Построение графика функции.

Пример 19. Исследовать функцию и построить ее график.

.

1)

2) Функция нечетная: .

3) Асимптоты.

– вертикальные асимптоты, т.к.

Наклонная асимптота .

5)

– точка перегиба.

Схематичный график данной функции:

Правило Лопиталя.

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Т.е. при раскрытии неопределенностей вида или можно использовать формулу: .

Пример 19.

а)

б)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: