Определенный интеграл

Определение. Пусть на некотором интервале задана непрерывная функция . Построим ее график.

Фигура, ограниченная сверху кривой , слева и справа прямыми и снизу отрезком оси абсцисс между точками a и b, называется криволинейной трапецией.

S – область – криволинейная трапеция.

Разделим интервал точками и получим:

Интегральная сумма:

Определение. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы.

Свойства определенного интеграла:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов этих функций

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a, b, c

4. Если на отрезке , то и

5. Пределы интегрирования можно менять местами, при этом меняется знак интеграла

6. Интеграл в точке равен 0:

8. (“о среднем”) Пусть y = f(x) интегрируема на [a,b] Тогда , где , f (c) – среднее значение f(x) на [ a,b ]:

9. Формула Ньютона-Лейбница

, где F(x) – первообразная для f(x).

Методы вычисления определенного интеграла.

1. Непосредственное интегрирование

Пример 32.

а)

б)

в)

г)

5.

2. Замена переменных под знаком определенного интеграла.

Пример 33.

б)

3. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пример 34:

а)

б)

в)

г)

д)

4.3. Несобственные интегралы.

Понятие несобственного интеграла связано с понятием определенного интеграла. Нельзя вычислить определенный интеграл при неограниченных пределах и в точках, в которых подынтегральная функция не существует. Обобщением определенного интеграла в этих случаях и служит несобственный интеграл.

Определение. Несобственным интегралом (с бесконечным пределом интегрирования) от функции на промежутке называется предел функции при , т.е.

.

Аналогично, .

Интеграл с двумя бесконечными пределами

.

Определение. Несобственным интегралом (от неограниченной функции ) на промежутке называется предел

.

Несобственным интегралом (от неограниченной функции ) на промежутке называется предел

.

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся. В случае интеграла с двумя бесконечными пределами, оба предела должны быть конечными, если хотя бы один предел не существует или бесконечен, то интеграл будет расходящимся.

Пример 35. Найти несобственные интегралы, если они сходятся.

а) , но предел функции не существует при , значит данный интеграл расходится.

б) .

в)

.

Т.к. при не имеет смысла, то данный интеграл является несобственным и, значит:

.

Т.к. при не имеет смысла, то данный интеграл является несобственным и, значит:

Рекомендуемая литература.

Основная.

1. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Основы математики и ее приложение в экономическом образовании: Учебник. – 4-е изд., исп. – М.: Дело, 2003.

2. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Математика для экономических специальностей: Учебник. – 4-е изд., исп. – М.: Дело, 2003.

3. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Математика для экономического бакалавриата. Учебник. – 4-е изд., исп. – М.: Дело, 2005.

4. Высшая математика для экономистов. Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера, - 2-е изд., перераб. и доп. – М: ЮНИТИ, 2003.

5. Кремер Н.Ш, Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н.. Высшая математика для экономических специальностей. Учебник и Практикум (части I и II) / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера, - 2-е изд., перераб. и доп. – М: Высшее образование, 2007. – 893с. – (Основы наук)

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. высшая школа. 1999.

Дополнительная

1. И.И. Баврин, В.Л. Матросов. Высшая математика. «Гуманитарный издательский центр Владос», 2002.

2. И.А. Зайцев. Высшая математика. «Высшая школа», 1998.

3. А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. Математика в экономике / в двух частях/. М. Финансы и статистика. 1999.

Оглавление.

Введение. 3

1. Общие методические рекомендации 3

2. Программа курса. 3

3. Задания к контрольной работе. 8

4. Методические указания по выполнению контрольной работы. 25

Тема 1. Введение в анализ. 25

Тема 2. Дифференциальное исчисление. 33

Тема 3. Функции нескольких переменных. 40

Тема 4. Интегральное исчисление. 48

4.1. Неопределенный интеграл. 48

4.2. Определенный интеграл. 53

4.3. Несобственные интегралы. 58

Рекомендуемая литература. 61

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: