Определение показателей долговечности элементов на основе цензурированных выборок

Цель занятия – привить обучающимся практические навыки в расчетах показателей долговечности автомобилей с использованием методики их определения на основе цензурированных выборок.

Задачи занятия:

1. Ознакомить обучающихся с основными показателями долговечности автомобилей, а также с методикой их определения на основе цензурированных выборок.

2. Научить обучающихся самостоятельно проводить расчет показателей долговечности с использованием методики их определения на основе цензурированных выборок.

Теоретическая часть [17, 19]

Ресурсные испытания изделий, как правило, проводятся по планам неполных (цензурированных) выборок [Nur] и [NuT]. При этом законы распределения времени распределения отказов не известны, т.е. в этом случае речь идет о непараметрической оценке показателей долговечности.

В указанных планах испытаний приведенные обозначения имеют следующий смысл:

Ресурсы (Tpi) будем называть наработками до отказа, а приостановленные наработки (наработки до цензурирования) tpi.

При проведении ресурсных испытаний число отказов r должно составлять не менее 40% от общего числа изделий N. Это требование связано с обеспечением точности проводимых расчетов.

Точечные оценки единичных показателей долговечности Тр.ср и Тр.g в указанных случаях испытаний изделий определяется в следующей последовательности:

- Составляется вариационный ряд в виде табл. 2.1. Такие таблицы составляются для каждого параметра (элемента), по которому определяется ресурс Tpi;

- В 1-й графе таблицы проставляется номера всех N изделий (элементов), подвергаемых ресурсным испытаниям;

- Во 2-й графе таблицы в возрастающем порядке проставляются приостановленные наработки, полученные во время испытаний, t_k;

- В 3-й графе выписываются из графы 2 величины ресурсов Tpi, получаемые во время испытаний (i = 1…r);

- В 4-ю графу выписываются из графы 2 приостановленные наработки tpj, или наработки до цензурирования (j = 1…n). Если отдельные значения Tpi и tpj совпадают, то в вариационном ряду сначала указывают Tpi, а затем tpj;

- В 5-ю графу записывают значения средних порядковых номеров ресурсов mi, которые определяются по формулам:

- mi = mi – ₁ + ∆i - ₁ m₀ = 0; (2.1)

- ∆i = (N - mi – ₁) / (N - N k - ₁), (2.2)

где ∆i – ₁ – приращение значения mi – ₁, определяемое по формуле (2.2);

Nk – k -ый порядковый номер из графы 1 табл. 2.1.

- В 6-ю графу записывают значения приращения ∆i. Следует заметить, что приращения ∆i определяются только для наработок, имеющих отказы, указанные в графе 3 табл. 2.1. Для приостановленных наработок ∆i не определяется. Величина m₀ всегда равна 0. Если в графе 3 наработки до отказа Tpi повторяются последовательно и непрерывно то приращение ∆i в этом случае остается неизменным, изменение приращения происходит всякий раз, когда наработки до отказа прерываются приостановленными наработками;

- В 7-ю графу записывают оценки вероятностей отказов (функция распределения Fi), определяемых по формуле

- ` Fi = mi / N, (2.3)

где mi – берется из графы 5 табл. 2.1;

N – общий объем выборки (графа 1);

- В 8-ю графу записывают значения вероятности безотказной работы `pi, определяемые по формуле

- ` pi = 1 - ` Fi = g / 100 (2.4)

Из формулы (2.4) видно, что величина `pi численно равна g / 100;

- Определяют гамма-процентный ресурс Tpg по задаваемой величине g. Величину Tpg определяют по формуле:

` Tp g = ` Tpi + [ g /100 – ` p (Tpi)] ´ [Tpi <sub>+1</sub> - Tpi] / [ ` p (Tpi ₊₁) - ` p (Tpi)],

где [`p (Tpi ₊₁) < g/100 < p (Tpi) – ближайшие к g/100 вероятности pi, определяемые из табл 2.1.

В тех случаях, когда величина g/100 совпадает со значением pi, указанным в графе «8», то величина `Tpg равна ресурсу Tpi, указанному в данной i - й стороке.

- Определяется средний ресурс `Tp_СР по формуле

_r

`Tp<sub>СР</sub> = å Tpi [`p (Tpi₊₁) - `p (Tpi)] + (1 - `Fr) t_N,

i _{= 1}

Таблица 2.1

Вариационный ряд для определения показателей надежности на основе цензурированной выборки.

непараметрический случай (закон распределения неизвестен)

где Tpi₊₁ и Tpi берутся из табл. 2.1 (графа «3»);

` Fr и t_N – берутся из граф табл. 2.1 «7» и «2».

Методика проведения занятия

1. Обучающиеся самостоятельно изучают теоретическую часть

2. Под руководством преподавателя обучающиеся рассчитывают средний гамма-процентный и средний ресурс по условиям примера.

Пример. Определить гамма-процентный и средний ресурс автомобилей, подвергаемых ресурсным испытаниям (наблюдение за парком машин мини АТП). План испытаний [Nur], r = 5 автомобилей, N = 10 автомобилей. Результаты испытаний приведены в табл. 2.2.

Определяем величины mi и ∆i по формулам (1) и (2):

m ₀ = 0; ∆₀ = 0;

m₁ = m ₀ + ∆₀ = 0 + 1 = 1;

∆₁ = (N – m₀) / (N – N₀) = (10 – 0) / (10 – 0) = 1

m₂ = m₁ + ∆₁ = 1 + 1 = 2. Здесь приращения ∆₁ нет.

m₃ = m₂ + ∆₂ = 2 + = (N – m₂) / (N – N₃) = 2 + (10 – 2) / (10 – 3) = 3,14;

m₄ = m₃ + ∆₃ = 3,14 + = (N – m₃) / (N – N₅) =

3,14 + (10 – 3,14) / (10 – 5) = 4,51;

m₅ = m₄ + ∆₄ = 4,51 + (N – m₄) / (N – N₉) =

4,51 + (10 – 4,51) / (10 – 9) = 10.

Определяем величины `Fi и `pi по формулам (3) и (4):

` F<sub>1</sub> = m<sub>1</sub> / N = 1 / 10 = 1 `p₁ = 0,9;

` F<sub>2</sub> = m<sub>2</sub> / N = 2 / 10 = 0,2 `p₂ = 0,8;

` F<sub>3</sub> = m<sub>3</sub> / N = 3,14 / 10 = 0,314 `p₃ = 0,686;

` F<sub>4</sub> = m<sub>4</sub> / N = 4,51 / 10 = 0,451 `p₄ = 0,549;

` F<sub>5</sub> = m<sub>5</sub> / N = 10 / 10 = 1 `p₅ = 0;

Определяем ` Tpg (g = 90%).

Из таблицы видно, что `p<sub>1</sub> = 0,9 = g /100, поэтому `Tpg = 0,9 = 750000 километров.

Определяем средний ресурс ` Tp_СР по формуле (6)

₅

`Tp<sub>СР</sub> = å Tpi (`p _{i +1} - `p<sub>i</sub>) + (1 - `F₅) t₁₀ =

i _{= 1}