A. Сіметрычныя паліномы. Формулы Віета. Асноўная тэарэма пра сіметрычныя паліномы (без доказу).

К -камутатыўнае колца з адзінкай.

Азн.1: Паліном f(x₁,…,x_n) K[x₁,…,x_n] наз сіметрычным, калі ён не змяняецца пры перастаўленне двух зменных

f(x₁,…,x_i,…,x_j,…,x_n)=f(x₁,…,x_i-1,x_j,x_i,…,x_j-1,x_i,x_j,..,x_n) 1=<i<j=<n.

Тэарэма1: Мноства ўсіх сіметрычных паліномаў з К[x₁,…,x_n] ёсць падколца колца К[x₁,…,x_n].

Тэарэма2: Палиномы

σ₁=х₁+х₂+..+x_n

σ₂=х₁ х₂+х₁ х₃+..+ х₁x_n+ х₂ х₃+…+ х_n-1 х_n

σ₃=х₁ х₂ х₃+х₁ х₂х₄+….+ х_n-2 х_n-1 х_n

……………….

σ_n=х₁ х₂…х_n

называюцца элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n зменных.

Коэфіцыенты паліномаў ад адной зменных = элементарных сіметрычным паліномаў ад каранёў гэтага паліномаў са знакам “+” ці “--” наз формулы Віета.

Тэарэма1(Пра сіметрычны паліном): Няхай К - камутатыўнае колца з адзінкай. Для адвольнага сіметрычнага паліному f(x₁,…,x_n) K[x₁,…,x_n] існуе адзіны паліном g(x₁,…,x_n) K[x₁,…,x_n] такі,што f(x₁,…,x_n)= g(ɓ₁(x₁,…,x_n), ɓ₂(x₁,…,x_n),…,ɓ_n(x₁,…,x_n)).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: