Преобразование Лапласа

В оптике это преобразование не используется, но находит широкое применение в теории электрических сигналов. Преобразование Лапласа определяется обобщенным экспоненциальным ядром и представляет собой распространение принципа преобразования Фурье на функции, для которых не существует фурье-образов. Если для функции f (x) условие не выполняется, но интеграл ограничен (для некоторого действительного числа ), то преобразование Лапласа функции f (x) по отношению к комплексной переменной p запишется в виде

L (p) = , (8.10)

причем Re(p) > . Преобразование Лапласа, в котором интегрирование проводится в бесконечных пределах, называют двусторонним. Обратное преобразование Лапласа определяется формулой

f (x) = ,

где c > Приравнивая в выражении (8.10) нижний предел интегрирования нулю, получим одностороннее преобразование Лапласа. Легко видеть, что одностороннее преобразование Лапласа и преобразование Фурье – это частные случаи двустороннего преобразования Лапласа. Преобразование Фурье получается из преобразования Лапласа формальной заменой переменной p на ik (или на iw), т.е. имеет место при мнимом p. Вообще говоря, преобразование Лапласа функции f (x) эквивалентно преобразованию Фурье функции где - вещественная часть комплексной величины p.

Используя замену можно показать, что преобразование Мелина функции f (x) эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа функции от x. В случае чисто мнимого аналогичное соотношение имеет место между преобразованиями Мелина и Фурье.

Для функции двух переменных преобразование Лапласа определяется аналогично:

L (p, q) = .

Свойства преобразования Лапласа в общем случае очень похожи на свойства преобразования Фурье.

Глава2

ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: