![]() ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Импульсная характеристика и передаточная функция слоя свободного пространства
Простейшей линейной пространственно-инвариантной оптической системой, преобразующей входной сигнал E (x, y) в выходной сигнал Пусть в координатной плоскости XY задано распределение поля E (x, y). Тогда распределение поля
Полученный интеграл представляет собой интеграл свертки входного сигнала E (x, y) с функцией
h (x, y) = Эта функция и является импульсной характеристикой слоя свободного пространства толщиной z. Следовательно, интеграл суперпозиции Кирхгофа – Френеля – Зоммерфельда можно записать в виде
E¢ (x¢, y¢) = Это соотношение показывает, что распространение оптического сигнала в свободном пространстве описывается линейным преобразованием или, другими словами, распространение световой волны в однородной среде можно рассматривать как преобразование сигнала в линейной пассивной системе. Это соотношение показывает также, что поле в плоскости X¢Y¢ определяется сверткой поля в плоскости XY с импульсной характеристикой слоя свободного пространства. Физический смысл полученной импульсной характеристики состоит в том, что точечный источник света, расположенный в начале координат (x = 0, y = 0), создает сферическую волну, которая в плоскости X¢Y¢ вызывает изменение фазы сигнала по гиперболическому закону при медленном уменьшении амплитуды с увеличением расстояния от оси Z. Как и следовало ожидать, импульсная характеристика симметрична относительно оси Z. Для определения передаточной функции свободного пространства, в соответствии с (9.8), следует найти фурье-образ функции (9.15):
H (u, v) = = Вычисление этого интеграла методом стационарной фазы дает следующее простое выражение для передаточной функции свободного пространства:
H (u, v) = где учтено, что волновое число k = 2 p / l. К выражению (9.16) для передаточной характеристики свободного пространства можно придти и иначе. Во входной плоскости XY поле характеризуется частотным спектром E (u, v) (или E (u, v; 0)), в выходной плоскости X¢Y¢ – спектром E¢ (u, v) (или E (u, v; z), где координату z можно рассматривать в качестве параметра). В результате распространения поля на расстояние z (от входной плоскости XY до выходной плоскости
E¢ (u, v) = E (u, v) Учитывая соотношение (9.11), приходим к выражению (9.16). Заметим, что, в соответствии с этим выражением, распространение волн в свободном пространстве на расстояние z проявляется только в изменении относительных фаз различных составляющих углового спектра. Фазовые сдвиги возникают вследствие того, что плоские волны, распространяясь под различными углами, проходят различные расстояния, пока достигнут рассматриваемой точки. Представляет интерес также получить выражение (9.16) и из решения волнового уравнения Гельмгольца для свободного пространства с помощью двумерного преобразования Фурье. Умножим волновое уравнение Гельмгольца
на выражение
Решением этого обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка является функция вида
где C 1 и C 2 – постоянные интегрирования (они не зависят от координаты z, но могут зависеть от пространственных частот u и v). Первый член в этом выражении соответствует прямой волне, а второй – обратной. В свободном пространстве обратная волна отсутствует, поэтому второй член должен быть равен нулю. Учитывая далее, что в плоскости z = 0 пространственный спектр распределения поля есть E (u, v; 0), найдем, что C 1(u, v) = E (u, v; 0). Тогда получим
Следовательно, для определения спектра выходного сигнала E (u, v; z) нужно спектр входного сигнала E (u, v; 0) умножить на функцию частот u и v:
которой и является передаточная функция свободного пространства. Заметим, что передаточная функция слоя свободного пространства представляет собой фазовый множитель Выражение (9.16) показывает, что слой свободного пространства играет роль оптической системы, фильтрующей пространственные частоты. Область пропускания этого фильтра определяется условием
В плоскости пространственных частот это соотношение определяет круг радиуса
Такие волны (их называют неоднородными или поверхностными волнами) могут распространяться вдоль плоскости XY и быстро затухают (практически на расстоянии нескольких длин волн l) при удалении от этой плоскости (с ростом z). Передаточная функция H (u, v) при z >> l и невыполнении условия (9.17) близка к нулю. Поэтому пропускание свободного пространства вне круга радиуса Поскольку частотная характеристика слоя свободного пространства является величиной комплексной, она может быть представлена в виде
H (u, v) = | H (u, v)| exp[ ij (u, v)]. При этом модуль этой функции | H (u, v)| определяет амплитудно-частотную, а аргумент
– фазо-частотную характеристики слоя свободного пространства. Внутри круга
| H (u, v)| = 1, а ФЧХ
а вне этого круга АЧХ
ФЧХ В приближении Френеля, когда
h (x, y) = = Это соотношение можно записать и в такой форме:
где коэффициент Как видим, фаза импульсной характеристики слоя свободного пространства изменяется по квадратичному закону относительно переменных x и y, а ее амплитуда уменьшается обратно пропорционально толщине слоя z. От координат x и y амплитуда импульсной характеристики слоя свободного пространства не зависит. Заметим, что импульсная характеристика слоя свободного пространства представляет собой расходящуюся сферическую волну с радиусом кривизны, равным толщине слоя z. Отметим также, что свойства слоя свободного пространства определяются только одним параметром – его глубиной z. Передаточную функцию слоя свободного пространства в приближении Френеля найдем, подставив (9.18) в (9.8):
= или
где
при a = p / (ilz), b 1 = i 2 pu, b 2 = i 2 pv. Выражение (9.19) для H (u, v) в приближении Френеля можно получить и непосредственно из общего выражения (9.16), полагая, что в этом приближении
Первый экспоненциальный множитель Частотную характеристику слоя свободного пространства можно также представить в виде
с тем же коэффициентом
Глава 4 Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|