Исықтың қисықтығы мен бұралуы.

Қисықтың қаншалықты бұралынқылығын (қисайғанның, майысқанның) анықтау жалпы түрде қисықтың қисықтығын (яғни түзу сызықтан қаншалықты ауытқығанның) сипаттау үшін қисық бойындағы нүктенің қозғалуына сай қисықтың әр нүктесінен жүргізілген жанамаларының бағыттарының өзгеру жылдамдығын анықтауу (салыстыру) керек. Бұл өзгеру жылдамдық қай жерде көп болса, сол қисайған деуге яғни қисықтығы көп деуге болады. Түзудің кез келген нүктесінен жанама сол жүргізілген жанама сол түзудің өзімен беттеседі. Сондықтан түзудің нүктелерінен жүргізілген жанамаларының бағытының өзгеру жылдамдығы 0 болады. Демек түзу қисаймаған, қисықтығы 0 болатын фигура болады.

L жатық сызық, ρ мен Θ оның бойында жақын жатқан нүктелер болсын. Ол нүктелерден бағытты жанамалар жүргізсек, олар арасындағы бұрыш θ, ал θ ρ -доға Δs болса, онда қатынас жанам бағытының өзгеру жылдамдығын сипаттар еді, оны Θ ρ доғаның орташа қисықтығы дейді (38-а сурет)

Ал θ → ρ ұмтылғандағы ол орташа қисықтықтың шегін қисықтың ρ нүктедегі қисықтығы дейді. Оны К десек . Ол жанаманың өзгеру жылдамдығын сипаттайды.

∆ θ t(s) A

ρ Θ С

a O B

ρ В)

а) б)

368-сурет

Теорема. С^к классты жатық L сызықтың өзінің әбір нүктесінде қандайда бір қисықтығы К болады және L сызық табиғи параметрмен

= (s)=x(s) + y(s) + z(s) (58-13) болып берілсе ол қисықтық мынаған тең болады.

(58-14)

Дәлелі ρ, θ нүктелерге параметрдің S, S+ΔS мәндері сай келсін (368-б сурет). Ол нүктеден жүргізілген жанамалардың бірлік векторлары (s), (s+Δs) болсын және олар арасындағы бұрышты θ дейік (s) жанама болғандықтан (s) = және шарт бойынша (s) бірлік вектор. Демек =1

O нүктеден векторларды өлшеп салайық (368-в сурет). Сонда AOB= θ болады және .

Сондықтан ос биссектриса болса болатындықтан AB=2Sin болады.

Сонда болады да болады.

Ал, ΔS → 0 ұмтылғанда Δ θ → 0 ұмтылатынын ескерсек және соңғы теңдікте жекке көшсек

Сонымен болып, теорема дәлелденеді. Сөйтіп k>0 және S -тың функциясы болады екен. k=k(s)

векторды L қисықтың ρ нүктедегі қиысқытың векторы, ал оның ұзындығын қисықтың сол нүктедегі қисықтығы дейді, оның кері шамасын қисықтың ρ нүктесі қисықтғының радиусы дейді. Сонымен қисық табиғи парметрмен теңдеумен берілген онда ол қисықтың қисықтығы мына формуламен табылады екен.

(58-14a) (58-14б)

Мұндағы теңдіктен оның сол жағы бірлік вектордың бұрыштық жылдамдығын білдіретіндіктен бірлік вектордың бұрыштық жылдамдығы 1-туындысының модуліне тең болатындығы шығады.

Қисықтың М нүктесінен қисықтық векторы векторға паралель бағытта жүргізілген векторды түзуді сол L қисықтық М нүктедегі бас нормалы дейді, ал вектор бас нормалдық бірлік векторы делінеді.

Сонда . Сөйтіп немесе (58-15) бірлік вектор өзінің бірінші туындысына перпендикуляр болады деген лемма бойынша немесе . Сөйтіп бас нормал жанама вектор ға перпендикуляр болады екен. Сондықтан болады.

Жанаманың бірлік векторы мен бас нормалдың бірлік векторы -нің векторлық көбейтіндісін дейік

= (58-16)

М нүктеден векторға паралель етіп жүргізілген (M, ) түзу L сызықтың М нүктедегі бинормалы делінеді. Векторлық көбейту анықтамасы бойынша , болады және мен арасындағы бұрышы 90⁰ болғандықтан және | |=| || | sin( ^ )=1 1 1=1 болатындықтан вектор бірлік вектор болады, оны бинормалдың бірлік векторы дейді.

Сонымен жатық сызықтың кезкелген М нүктесінен өзара перпендикуляр үш түзу өтеді екен.

Олар: Жанама түзу, оның білрік векторын дейік, бас нормал түзуі, дедік бинормал түзуі дедік.

Сондықтан бұлар ортанормаланған R_m=(M ) репер анықтайды. Оны L қисықтың канондық репері дейді.

Бұлар қос-қостан өзара перпендикуляр үш жазықтықты анықтайды. Оны Френе үшжағы дейді. Бұлар канондық репердің координаттық жақтары болады.

Оларды былайша атайды:

- М нүкткесі жанама түзу, бас нормал арқылы өтетін (M ) жазықтықты L -дің жанасу жазықтығы дейді, оған бинормал перпендикуляр болады (369-суретте 1 жазықтық)

- М нүктесі бас нормал, бинормал арқылы өтетін (M ) жазықтықты нормал жазақтық дейді, оған жанама түзу перпендекуляр болады (369-суретте 2 жазықтық)

- М нүктесі, жанама түзу мен бинормал түзу арқылы өтетін (M ) жазықтықты түзуленетін жазықтық делінеді, оған бас нормал перпендекуляр болады (369-суретте 3 жазықтық)

Бұл суретте ММ₁ -жанама түзу ММ₂ бас нормал түзуі ММ₃ бинормал түзуі - бірлік вектор жанама бойымен параметрдің көбею жағына қарай бағытталады.

- бас нормалдың бірлік векторы қисықтың ойыс жағына қарай

M₃

(1)

M₂

369-сурет

бағтталады. бинормал , , векторлар осы орналасуында оң үштік 369-сурет жасайтындай болып бағытталады.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: