Көпбейнеліктің эйлер характеристикасы.

Екі өлшемді F көпбейнелік клеткаларға жіктелген болсын. Барлық клеткалардың төбелерінен санын – α₀ қабырғаларының санын – α₁ клетканың санын – α₂ дейік. Онда

α = α₀- α₁+ α₂ (52-1)

Санын сол көбейткіштерден Эйлер характеристикасы дейді.

Мысалы Ғ тетраэдр болса, онда α₀=4, α₁=6, α₂=4 болады. Сондықтан тетряэдрдің және тетряэдрге гомеморфты болатын фигураладың Эйлер характеристикасы

α = α₀- α₁+ α₂=4-6+4=2 болады.

Көпбейнеліктің Эйлер характеристикасы оны клеткаларға болу тәртібіне (болу санына) байланысты болмайды, ол топологиялық инвариант болады.

Сфера, элипсоидтар тетряэдрге гомеморфты. Сондықтан Эйлер характеристикасы 2-ге тең болады.

Егер центірі 0, радиусы к болатын S сфераны центрдей h > r қашықтықта өтетін π жазықтықпен қиса және ол S сфераның π жазықтыққа қарағанда О нүкте жатпайтын жағындаығы нүктелер жиыны Ғ десе (435- а сурет), онда сфеараның екінші бөлігі S=S\F көпбейнелік болар еді. Бұл тұйық дөңгелекке гомеморфты болатын жиекті көпбейнелік болады (435-б сурет). Ол көпбейнелікті бір тесікті сфера дейді. Бір тесікті сфера дөңгелекке, ал дөңгелек үшбұрышқа гомеморфты болады. Ал үшбұрыштың Эйлер характеристикасы (α₀=3, α₁=3, α₂=1) α= 3-3+1=1 – ге тең болады.

Сондықтан бір тесікті сфераның Эйлер характеристикасы 1-ге тең болады.

Екі тесікті сфера бір тесікті тұйық дөңгелекке гомеморфты болғандықтан (335-е сурет. Бұл суретте α₀=6, α₁=9, α₂=3) оның Эйлер характеристикасы α₀- α₁+ α₂=6-9+3=0 болады.

Бұдан әрбір тесік сфераның Эйлер характеристикасы 1-ге кемитетінін байқауға болады. Ал, сфераның Эйлер характеристикасы α=2 болатын сонда r тесікті сфераның Эйлер характеристикасы мына формуламен табылады.

α=2-r (52-2)

Екі тесікті сфераға бір тұтықты жапсыру арқылы оның тесігін бекітуге болады (335-г суретт). Оны бір тұтқалы сфера дейді.

335-сурет

Бұл көпбейнелік тор мен (335-д сурет) гомеморфты болады. (тор деп шеңберді сол шеңберді сол шеңбер жазықтығында жатқан, бірақ онымен қиылыспайтын түзу айнласынан айналдырғада шығатын фигураны (335-д сурет атайды).

Егер сферада 2k+r тесік болса, онда 2к тесікке к тұтқаны жапсыруға болады. Сонда к тұтқалы r тесікті көпбейнелік W_k, r шығады.

Кез келген бағдарланатын екі өлшемді компакты көпбейнелік W_ko (k тұтқалы, тесігі жоқ көпбейнелік (сфера) көпбейнелікке, ал жиегі бар бағдарланатын екі өлшемді компакты көпбейнелік W_k,r (К тұтқалы, r тесікті сфера) көпбейнелікке гомеморфты болады

К-ны көпбейнеліктен тегі, r-ді контуры дейді. W_k,r көпбейнеліктен Эйлер характеристикасы

α =(W_k,r) = 2-2 k- r (52-3)

Формуламен табылады. Тор біртұтқалы сфера болғандықтан, бұл формула бойынша тoрдың Эйлер характеристикасы

α (W₁,₀)=2-2·1-0=0 болды (334-г, дсуреттер)

Екі бағдарланатын компакты көпбейнеліктің гомеморфты болу шарты мынадай.

1. Теорема. Екі бағдарланатын компакты көпбейнелік олардың тектері бірдей тең болған жағдайда ғана, ал бағдарланатын компакты жиекті көпбейнелік олардың тегіде, контуры да тең болған жағдайда ғана өзара гомеморфты болады.

Р тұтқалы сфера – екі өлшемді бағдарланатын компакты Р текті көпбейнеліктің нормал түрі болады, ал Р тұтқалы r тесікті сфера – жиегі r - контурдан тұратын екі өлшемді бағдарланатын компакты Р текті көпбейнеліктің нормал түрі делінеді.

Мёбиус жапырағының жиегі шеңберге гомеморфты болады. Сондықтан к+1 тесікті W_k+1,₀ сфера алып, оның тесігіне Мёбиус жапырағын жапсырса компакты бағдарланбайтын ψ_k көпбейнелік аламаыз. Оның Эйлер характеристикасы к+1 тесікті сфераның Эйлер характеристикасына тең болады.

Сонда (52-2) бойынша

α (ψ_k)= φ(W_k+1) = 1-k

Мысалы бір тесікті W₁ сфера алып оған Мёбиус жапырағымен жапсырсақ Эйлер характеристикасы 1 болатын Х₀ көпбейнелік аламыз.

Мына теоремалар дұрыс болады.

2- Теорема. Кезкелген компакты бағдарланбайтын екі өлшемді көпбейнелік қандайда бір ψ_k көпбейнелікке гомеоморфты болады. К – ол көпбейнеліктің тегі делінеді.

3- Теорема. Екі кезкелген компакты бағдарланбайтын екі өлшемді көпбейнелік тектері теңдей (Эйлер характеристикасы теңдей) болған жағдайда ғана өзара гомеморфты болады.

1-есеп. Х жиынын А және В екі нүктеден тұрады. Бұл жиында Х жиын Ф бос жиын және А нүктесі ашық жиындар үшін алынған. Осы Х жиынының топологиялық кеңістік болатынын дәлелдеу керек.

Шешуі. Есептің шарты бойынша X={A,B} екі элементті жиын ал ондағы ашық жиындар жүйесі φ={x, , A} элементтерден (ашық жиындардан) тұрады.

(Х,Ф) топоплогиялық кеңістік болу үшін Ф элементтері Т-1,2,3 аксиомаларды қанағаттандыруы керек.

Т-1 орындалады. Өйткені есептің жарты бойынша Х, жиындар ашық жиындар. Сондықтан олар Ф ашық жиындар жүйесіне енеді

Т-2 орындалады. Өйткені Ф элементтерінің біріктірмесі ашық жиын болады: π =x, x A= x, A=A болады жәнее Х,А есеп шарты бойынша ашық жиындар. Сондықтан олар Ф-ға кіреді.

Т-3 орындалады. Өйткені Ф элементтерінің қимасы

x = , x A=A, A=Ф болады. Ал, А, есеп шартында ашық жиын деп берілген.

Сөйтіп Т-1,2,3 аксиомалар орындалатындықтан Ф={x, , A} топология құрылым болады, ал (Х,Ф) жұбы топологиялық кеңістік болады.

2- есеп. Х жиыны координаталар жүйесінде қабырғасы 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 шартын қанағаттандыратын квадрат болсын.

Бұл жиында ашық жиын деп х жиынының өзі, бос жиын және бірінші координатасы a ≤ x ≤ 1 шартын қанағаттандыратын жолақтың нүктелері Q алынған, мұндағы 0 < a < 1 (436-сурет) осы х жиынның топологиялық кеңістік болатынын дәлелдеу керек.

Шешуі. Мұнда Ф={x, , Q} ашық жиындар жүйесі болады.

Х пен есеп шартында ашық жиын деп берілген. Демек Т-1 аксиома орындалады. Ф элементтерінің біріктірмелері x =x, x Q= x болатындықтан х -тың ашық жиындарының біріктірмесі де ашық жиын болады. Демек Т-2 орындалады.

y

Q

0 a x

(335-сурет)

Ф элементтерінің қимасы x = , x Q=Q, Q = болатындықтан Х -тың ашық жиындарының қимасы да ашық жиын болады екен. Демек Т-3 орындалады. Сөйтіп Т-1,2,3 аксиомалары орындалады. Сондықтан Ф={x, , Q} жиын х үшін топология болады, ал (х,Ф) топологиялық кеңістік болады.

3- есеп. 2-есеп шартындағы (X, Ф) топологиялық кеңістіктегі барлық тұйық жиындарды анықтаңдар.

Шешуі. Ол есепте ашық жиын үшін x, , Q жиындар алынған. Топологиялық (X, Ф) кеңістіктегі Q жиын тұйық делінеді. Егер де Q -ды х -қа дейін толықтыратын C_xQ=X\Q жиын ашық болса, осыны тексерейік.

Бос жиынды х – қа дейін толықтырушы сол х жиынның өзі, ол шарт бойынша ашық жиын сондықтан Ф бос жиын х кеңістікте тұйық болады. Q={a<x≤1} жиынды х жиын ға дейін толықтырушы M={0≤x≤a} жиын. Есеп шартында Q ашық жиын сондықтан М жиын тұйық жиын болады.

4 – есеп. Топологиялық (Т,Ф) кеңістікте соны кезкелген тұйық жиындардың біріктірмесі, саны шектелген тұйық жиындардың қимасы тұйық болатынын дәлелдеу керек.

Дәлелі топологиялық (Т,Ф)кеңістіктің М₁ мен М₂ екі тұйық жиындары болсын. Онда бұларды Т- ға дейін толықтырушы C_TM₁=T|M₁, C_TM₂=T|M₂ ашық жиынды болады.

Ал Т|М, М₂ = T|M₁ T|M₂ болатындықтан және ашық жиындар қимасы ашық жиын болатындқтан T|M₁ M₂ ашық жиын болады.

Ал бұл M, M ₂ жиынды Т – ға толықтырушы жиын, ол ашық болғандықтан M M ₂ тұйық жиын болады.

Т | M_α= T|M_α болатындықтан және М_α тұйық жиын болғандықтан Х | M_α ашық жиын болады, ал ашық жиындардың бірктірмесі ашық жиын болатындықтан T\ M_α ашық жиын болады. Сондықтан мұны Т -ға толықтырушы M_α тұйық болады.

5- есеп. Топологиялық (T, Ф) кеңістікте х жиын берілсін. А нүкте бұл жиынның шекаралық нүктесі болу үшін ол нүктенің кез келген аймағы мен жиынның да, бұл жиынды Т- ға толықтырушы С_ТХ жиынында қимасы бос жиын болмау керек.

Дәлелі. A T нүктенің аймағы u- ға жиынында С_ТХ жиынында элементтері ккіреді.

Онда u x, C_TX u бос жиын болмайды. өйткені х, С_ТХ бос емес жиындар

u M ≠ , C_TM u ≠

Енді керісінше Т -ның А нүктесінің аймағы U мен M -нің қимасы бос жиын болса u M = онда А нүкте M жиынның сыртқы нүктесі болады. Сондықтан ол M -ге шекаралық нүкте бомайды.

Егер и мен С_Тм -нің қимасы u C_T M = бос жиын болса онда А -ның кезкелген оймағы U M -нің ішкі жиыны болады. Сондықтан А M -нің ішкі нүктесі болады да, ол тағы да шекаралық нүкте болмайды.

Сөйтіп А нүкте M жиынның шекаралқ нүктесі болса онда А -ның аймағы үшін u M ≠ , u Q ≠ болу керек екен.

6- есеп. Сандық түзудегі әртүрлі аралықтың ішін тұйықталуын шекарасын анықтаңдар!

Шешуі:

а) аралық y=[a, b] болсын a, b R мұның іші a < x< b нүктенің жиыны болады J = (a, b). Шекарасы а және в нүкте блады. F_r J={a, b} болады. Тұйықталуы ішімен шекарлық нүктелер біріктірмесі = J F_r J=[a, b] J кесіндісінің өзі болады.

б) аралық J=[a, b), жартылай интервал болсын. Бұл кезде J=(a, b), J=[a, b], F_r J={a, b}

в) аралық J = (a, b) интервал болсын. Бұл кезде J= J(a, b),

г) аралық болса J(a ,

д) аралық J = болсын. J=J, J =

е) аралық J= () болсын J=J= (), J=J

Осы сияқты арлықтарды қарастыруға болады.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: