Параметр мен берілген.

Егер қисық табиғи параметрде = (S)=x(S) +y(S) +Z(S) теңдеумен берілсе қисықтың M(Xo, Yo, Zo) нүктедегі қисықтығы

K=| |= (58-26) формуламен бұралуы β= β= (58-27) формуламен табылатын болады.

Енді қисық теңдеуі жалпы параметрде = (t)=x(t) +y(t) +z(t) теңдеумен берілген жағдайды қарстырайық. Бұл кезде t-ны S-тың функциясы ретінде қарастырамыз. Сонда (t)= (t(S)) күрдклі функция аламыз. Күрделі функциядан туынды алу ережесі бойынша

= немесе = ¹ (*1)

= ()² + немесе = ^ll ()² + (*2)

= ()³ + +2 + + =

= ()³ + 3 +

немесе = ^lll ()³ +3 ^ll + ^l (*3)

Бұлардан =( ^{l ll}) ()³ (*4)

( z ) =( )=( ^{l ll lll}) (*5)

Себебі ( ^{l l l})=( ^{l l ll}) = ( ^{l ll lll})=0 болады. = =k екенін ескерсек (*4) пен (*5) тен x k =( ^{l ll}) ()³=( ^{l ll})

Ал = , | ^l|=1болатындықтан | k |= =k

Сонымен k= = (58-27) бойынша ( )= k² β және ( )=( ^{l ll lll}) () b= - | ^l (t)|

Бұлардан

Ескерту:

1. Егер қисық табиғи параметр S пен берілсе, онда ол қисықтың қисықтығы мен бұралуы сол S параметрдің функциялары болады. (58-28)

Мұны қисықтың натуралдық теңдеуі дейді. Бұл теңдеулердің жәрдемімен, егер k(S) > 0, β(S)≠0 болса, онда қисықтығы k(S) бұралуы β(S) болатын жатық қисық бір мәнді анықталады деген теорема бар.

2. Френе формулаларына сүйкене отырып C³ классты қисықтың қисықтғы К оң болатын нүктеде ол сызқтың Френе үш жағына (жанасу, нормал, түзуленетін жазықтықтарға) қарағанда қолай орналасатынын анықтауға болады. Ол үшін сызықты бұл жазықтарға проекциялайды (369-сурет)

Мысалы L қисығы = (S) теңдеумен беріліп, М_о -нүкте сол сызықта жатсын. М_о -нүктеден жүргізілген Френе үш жағының координаттық векторлары - ны xyz өстерінен арттары үшін алсақ және ол нүктедегі қисықтың қисықтығы k>0 бұралуы β≠0 болса, онда ол қисықтың жанасу жазықтығына (ол М_ху жазықтығы) проекциясы y= kx² параболаға жақын болады. Ал, бұл L сызығы нормал жазақтықты (ол Муz жазықтық) ортогонал қиатындай болып орналасады ал түзуленетін жазықтыққа (ол M_xz жазықтағы) жанасып оның бір жағында ( вектор бағытталған жағында) жатады деген сөз.

L сызықтың түзуленетін жазықтыққа (ол M_xz) проекциясы Z= кубтық параболаға жақын болады. Ал, бұл L сызығ М нүктеде жанасу жазықтығына (ол М_ху) жанасып оның бір жағынан екінші жағына өтеді деген сөз. L сызықтың нормал жазықтықтағы (ол O_yz) проекциясы жартылай кубтық параболаны y=c ^2/3 анықтайды, бірақ бұл ешқандай қосымша мәлімет бермейді.

58.8. Винттік Сызық. Кеңістікте тікбұрышты Oxyz координата жүйесі ендірілсін. Кеңістіктің M(x, y, z) нүктесі мынадай күрделі қозғалыс жасасын.

1-ден, ол O_z осі айналасынан бір қалыпты қозғалсын (бірқалыпты айналсын).

2-ден, ол O_z осі бағытында оған паралель болып бірқалыпты қозғалсын. Осы М нүктесінің қозғалыс заңын анықтайық (370-сурет)

X A N 370-сурет

M(x,y,z) нүктенің О_ху жазықтағы проекциясы N(х,у,о) болсын. M(x,y,z) нүкте А(о,о,о,) нүктеден бастап қозғалсын. Сонда М мен бірге оның проекциясы да қозғалып О_ху жазықтығында О центірі а радиусты шеңбер болады. Бұл кезде AON центірлік бұрыш уақыт t -ға пропорционал өсе бастауы жеңілдету үшін пропорционалдық коэфициенті 1-ге тең дейік сонда < AON=t болады. Сондықтан x=a cost y=a sint болады. М нүкте екі жағынан O_z -ке паралель бірқалыпты қозғалатындықтан Z=bt (b-тұрақты) болады. Сонымен t -ға байланысты М нүкте x=a cost, y=a sint, z=bt (58-29)

Заңмен қозғалады екен. (а,в – тұрақты) еыклидтік Е₃ кеңістікте элементар сызықты анықтайды оны винттік сызық дейді. Ол C^∞ классты жатық сызық болады. (58-29) дің алғашқы екеуінің x²+y²=a² болатындықтан винтік сызық табаны x²+y²=a² дөңгелек, ал өсі O_z болатын цилиндрде жатады.

Винттік сызықтың теңдеуін =a cost· +a sint +bt деуге болатындықтан болар еді

Ал. =| | болатындықтан =| |= болады.

Бұдан

Сонда винттік сызық табаны парметрде (59-а – дан);

(S)=a cos +sin + теңдеумен анықталады.

Бұдан (S), (S), (S), тапсақ (58-26), (58-27) формула бойынша винт сызығының қисықтығы мен бұралуы k= , β = (58-29б)

Бұдан a= ; b= (58-29в)

Егер k мен β белгілі болса осыдан а мен в ны тауып винтік сызықты салуға болады.

Винттік сызық қисықтығы мен бұралуы тұрақты қиық болады.

58.9 Жазық қисық. Егер қисықтың барлық нүктесі бір жазықтықта жатса ол жазық сызық (қисық) делінеді.

Қисық жатқан π жазықтықта х,у остері жататын О_xyz тікбұрышты координаталар жүйесін алайық. Онда сызық = (S)=x(S)i+y(S) теңдеумен берілер еді. Бұдан 3-рет туынды алайық (s арқылы).

=x(S) +y(S) , = (S) +y(S) , = (S) +y(S)

Бұлардан мен векторлар қисық жатқан π жазықтықтан алынғандықтан және = , =k векторлар оларға жіктелгендіктен , векторларда π жазықтыққа жатады.

Бұлардан мен векторлар қисық жатқан π жазықтықта жатады.

Бұлардан мына тұжырымдардың дұрыстығы шығады.

1. мен вектор жанасу жазықтығында каотын π мен яғни О_ху пен) беттеседі. Демек сызқ толығымен жанасу жазықтығында жатады.

2. Қисықтың бас нормалы π жазықтығында жатады.

3. Жазық қисықтың барлық нүктедегі бұралуы 0-ге тең болады. ЯӨйткені сызық жанасу жазықтығында жатқандықтан жазықтық сызық бойымен қозғалғанда өзгерммейді, яғни ол жазықтық бұралмайды.

Мұның керісіде дұрыс: Жатық сызықтың барлық нүктесіндегі бұралу 0-ге тең болса ол жатық сызық жазық сызық болады.

Сондықтан жазық сызықтар үшін β=0 болғандықтан Френе формуласы мынадай болды.

=k =kt

Мысалдар.

1- мысал. Винттік сызық скаляр функциялар арқылы жалпы параметрде x=a cost, y=a sint, z=bt теңдеумен берілетін. Ол теңдеуді табиғи параметр-де жазыңдар.

Шешуі: параметр t=0 нүктені N(x,y,z) дейік. Сонда

N(a cos o, a sin o, bo)=N(a,0,0) болады. Кезкелген t параметрге сәйкес келген М нүктеге дейінгі NM доға ұзындығын табайық.

ал, x¹= - a sin t, y¹=accost, z¹=b

болғандықтан S= Бұдан

параметр t табиғи параметр s арқылы осылайша өрнктеледі екен. оның орнына қойсақ x=a cos z= бұл тбиғи параметрдегі берілген қисық теңдеуі болады.

2- мысал. x = cos t, y = sint, z = ^t теңдеуімен берілген қисықтың жанамаларының О_ху жазықтықты қиятын сызығын табыңдар.

Шешуі: x¹ = - sin t,. y¹ = cos t, z = e^t болатындықтан жанама теңдеуі кезкелген t үшін

болады.

Мұның О_ху жазықтығымен қимасы нүктесінің жиыны, z=o десек

бұдан

іздеген сызық теңдеуі болады.

3- мысал. x=3a cost, y=3a sint, z=4at винттік сызықтың [0.2] аралықтағы ұзындығын табу керек.

Шешуі: Доға ұзындығы формуламен табылады.

Ал, x¹=-3a sin t, y¹=3a cost z¹4a t₁=0, t₂=2

Сонда S=

4- мысал. қисық және онда жатқан параметрі t_o=2 нүкте берілген.

Төмендегілерді табыңдар.

Шешуі: ол үшін мыналарды табамыз.

x=t, y = t ³, z = t² + 4, x_o=2, y_o = 8, z_o = 8,

Сонда x¹ = 1, y¹ = 3t² z¹ = 2t, x_o¹ = 1,

x_o¹=1, y_o ¹= 12, z¹_o = 4

x¹¹=0 y¹¹ = 6, z¹¹=2 Cонда x_o ¹¹=0 y_o ¹¹= 12, z¹¹_o = 2

x¹¹¹=0 y¹¹¹ = 6, z¹¹¹=0 Cонда x_o ¹¹¹=0 y_o ¹¹¹= 6, z¹¹¹_o = 0

1. Жанама вектордың координаталары

2. Бинормалдың координаталары мұндағы

3. Бас нормал вектордың коордианатлары

4. Жанама Түзудің теңдеуі бойынша

5. Бинормалдың теңдеуі бойынша

6. Бас нормалдың теңдеуі бойынша

7. Нормал жазықтық теңдеуі (x - x₀) x₀¹+ (y - y₀) y₀¹ + (z - z₀)z¹₀ =0

(x-2)1+(y-8)12+(z-8)4=0, x+12y+4z-2-96-32=0, x+12y+4z -130=0

8. Жанасу жазықтығының теңдеуі (ол бинормалға перпендикуляр болғандықтан)

(x - x₀)b₁ + (y - y₀) b₂ + (z - z₀) b₃ = 0

(x - 2)(- 12) + (y - 8) (-1) + (z - 8) 6= 0

- 12x +2y-y + 8 + 6z - 48 = 8

12x – y - 6z + 16 = 0

9. Түзуленетін жазықтық теңдеуі, бас нормалға перпендикуляр болғандықтан

76x-54y+143z-864=0

10. Қисықтың қисықтығы K=

11. Қисықтың бұралуы

B = =z =

12. Қисықтың канондық реперін (Френенің үш жағының реперін табыңдар. Ол векторлар

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: