Ені скаляр аргументті вектор – функция.

Евклидтік Е₃ кеңістікте нақты сандар жиыны R -де анықталған үш өлшемді V₃ векторлық – кеңістік шешімді және екі өлшемді Д аралық (яғни мына үш жиынның бірі.

а) R²=R R кеңістік, бұл (х,у) нүктелер жиыны);

б) R₊ сандық тұйық жарты кеңістік (яғни v ≥ 0 болатын (u, v) ЄR² нүктелер жиыны);

в) сандық квадрат (яғни 0 ≤ u ≤ a, 0 ≤ u ≤ a, a>0 болатын (u, v) ЄR² нүктелр жиыны) берліген.

Егер Д аралаықтың әрбір (u, v) нүктесіне V₃ векторлық кеңістіктің бір векторлы сәйкестенділетін ерже немесе заң белгілі болса, онда екі өлшемді Д аралықты u, v екі скаляр аргументті вектор – функция = (u, v) берілген делінеді.

Егер V₃ -тен ()орта нормалнған базис алайық, (u, v) вектор базистік векторларға жікелер еді және жіктелу коэффициенттері х, у, z сандары (u,v) нүкте Д аралықта жүріп өткенде өзгреді. Яғни олар u, v-ның функциялар болады. Сөйтіп | (u,v)=x(u,v) +y(u,v) +z(u,v) (59-1) болады.

Мұндағы x(u,v), y(u,v), z(u,v) скаляр функцияларды вектордың базистегі координаталары дейді.

Егер (u,v) үшін нүкте (u₀,v₀) нүктеге ұмтылғанда (u,v) - (a₁, a₂, a₃) айырым шексіз кіші болса, онда тұрақты {a₁, a₂, a₃} векторы (u,v) вектор - функцияның шегі делінеді және ол былайша жазылады:

Мұндай шектің болуы үшін

, , шектің болуы керек

Егер болса, онда = (u,v)

Вектор (u₀,v₀) нүктеде үздіксіз делінеді. Вектор Д аралықта үздіксіз болу үшін, ол жиын әрбір нүктелрді үздіксіз болуы керек. Егер u мен v -ның бірі тұрақты болып (мысалы v=v₀ тұрақты) екіншісі ғана Д аралықта өзгерсе, онда (u,v₀) функция бұл аралықта бір аргументті фуекция болады. Осы кезде (u, v₀) туынды бар болды, онда oны (u,v) вектор функцияның (u₀, v₀) нүктедегі u арқылы алынған дербес туындысы делінеді де немесе _u арқылы белгілейді. Егер u=u₀ тұрақты болып v өзгерсе туындыны

(u,v) вектр дифференциялы v арқылы алынған дрбес тундысы дейді де немесе _v арқылы белгілейді.

(59-1) ден (u, v₀)={x(u, v₀), y(u, v₀), z(u, v₀)} және

(u₀,v)={ x(u₀,v), y(u₀,v), z(u₀,v)} болатыны шығады. Сондықтан _u, _v дербес туындылар бар болу үшін , ,

және , ,

Туындылардың болуының шығады..

Бұл кезде _u=x_u +y_u +z_u , _v=x_v +y_v +z_v (59-2) болады.

(59-1) дегі x(u,v), y(u,v), z(u,v) функциялар (u,v) D нүктеде дифференцианалданатын функциялар болса, онда мынадай болады:

d =dx(u,v) +dy(u,v) +dz(u,v) (59-3)

Бұл (u,v) функцияның (u,v) нүктедегі дифференциалы делінеді. Мұны (59-2) былай жазуға болад:

d (u,v)= _udu+ _vdv (59-3a)

(u,v) функция (u,v) нүктеде диференциалданатын функция болу үшін

{ x(u,v), y(u,v), z(u,v) } функциялар срол нүктеде диференциалданатын функциялары болуы керек.

Егер (u,v) Д аралықтың әрбір нүктесінде диференциалданатын функция болса, оны Д аралықта диференциалданатын функция дейді.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: