Главная | Случайная
Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Беттің жанама жазықтығы мен нормалы




а) D R2 облыста = (u,v) (59-8) теңдеумен Ск- классты жатық бет F берілсін.

u=u(t), v=v(t) (59-9) -дейік

Мұндағы t параметр I R аралықта (u(t), v(t)) Д-да жататындай болып өзгеріп және бұл аралықта u(t), v(t) функциялар k-ретке дейін дифференциалданатын болсын және , туындылар I аралықта қатарына 0-ге тең болмайтын болсын мұны (59-8)- ге қойсақ

= (u(t), v(t)) (59-10) шығады.

Бұл бір t аргументті вектор – функция. Сондықтан ол F бетте жататын С-к классты жатық сызықты анықтайды. Сөйтіп (59-9), (59-10) бетте жатқан Ск- классты жатық сызықтық теңдеулері болады.

Егер М0 (u0, v0) бет F-те жатса онда бұл нүктеден шексіз көп сызықтары өтеді . Oл сызықтарға М0 нүктеден жүргізілген жанамалар жиынын F беттен М0 нүктедегі контингенциясы дейді. Егер беттен М0 нүктедегі контингенциясы бір жазықтықта жатса ол жазықтықта бетке сол нүктедегі жанама жазықтық делінеді. Ол жазықтыққа сол М0 нүктеден жүргізілген перпендекуляр түзуді, F беттен М0 нүктедегі нормаль дейді.

Теорема. Егер F (59-8) теңдеумен берілген Ск-классты жатық бет, М0 M0 (u0, v0) ол бетте жатқан нүкте болс, онда бұл беттегі М0 нүктесінен өтетін қисықтарына осы нүктеден жүргізілген жанамалар жиыны 0 u, v) жазықтықта жататын М0 центірі түзулер шоғын жасайды.

Дәлелі F бетте жататын L сызық М0 нүктеден өтсін. Ол нүктеге параметрдің t мәні сәйкес келсін. Яғни u0=u(t0), v0=v(t0), болсын. Бұл сызыққа М0 нүктеден жүргізілген жанама векторды анықтау үшін (59-10) теңдеуден t арқылы туынды алу керек.

= + = u + v

Мұнда u, v векторлар M0 (u0, v0) нүктеде , туындылар t0 нүктеде есептелген.

Соңғы теңдік , u v векторларды сызықтық тәуелді болатынын яғни копмлонор болатынын көрсетеді.сондықтан олар (M0, u v, ) жазықтықта жатады. Мұндағы L сызықта жанама вектор, ал u v сол жанасу нүктеден өтетін u-сызық пен v-сызыққа жанама векторлар.

Сонымен бетте жатқан сызықтың жанамасы u мен v және М0 жатқан жазықтықта жатады екен.

Енді керісінше М0 нүктеден өтетін u , v, М0 мен анықталатын жазықтық та жататын қандайда бір бетін жатқан сызықтың жанамсы болатынын дәлелдейік.

0 ) беттен М0 нүктесінен өтетін 0, u, v) жазықтықта жататын түзу болсын. Онда u v (*) болып жіктеледі. Мынадай теңдеумен.

u=u0+ αt, v=v0+βt (*,*) берілген

L* сызығын қарастырайық. Сонда бұл сызықтың векторлық теңдеуі = ( u0+ αt, v0+ βt) болады. Бұған М0 нүктеде жанама болатын вектор = u + v болады, ал (**) дан = α, = β болатындықтан = -1 болып шықты. Сөйтіп 0 u v) жазықтықта жaтатын, М0 нүктеден өтетін түзу сол нүктеден өтетін бір қисыққа жанама болады екен.

L қисығы еркін алынғандықтан теорема беттен кез келегн нүктесі үшін дұрыс болады.

б) = (u, v) беттегі М0 (x0, y0) нүктесінен жүргізілген жанама жазықтығы мен нормал түзудің теңдеулерін құрайық.

Жанасу нүктесі М0-дың радиус векторы 0= (U0, V0 ) болсын, ал жанама жазықтықьтың ағымдық нүктесінің радиус векторы

болсын. Онда - 0, u, v векторлар сол жанама жазықтықта жатар еді. Сондықтан олардың паралель көбейтіндісі 0-ге тең болады.

(( - 0) u v)=0 (58-11)

Ал бет x=x(u, v), y=y(U, v), z=z(u, v), теңдеумен берілсе

0={x0(u0, v0), y0(u0, v0), z0(u0, v0),}, u={xu, yu, zu},

v={xv, yv, zv},

Болатындықтан (58-11) координата арқылы былайша жазылады.

=0 (59-11a)

Беттегі жанамасының (58-11) векторлық, ал (59-12) координаттық теңдеуі болады.

Нормал түзу жанама жазықтыққа перпендекуляр болғандықтан, нормал түзу векторы болады да = (векторлық көбейтінді) деуге болады.

Мұның координатлары = болатындықтан нормалдың теңдеуі.

= = ( ) (59-12) немесе координатық түрде (59-12) болады.

в) Егер бет z=z(x, y) теңдеуі мен берілсе бұл теңдуеді x=u, y=v z=z(x, y) деп жазуға болатындықтан және xu=1,b yu=0, zu=zx(x0, y0) , xv=0, yv=1, zv=zy(x, y) болатындықтан жанама жазықтық теңдеуі мынадай болады.

 

(59-13). Немесе (59-13а)

Ал, нормал түзу теңдеуі

(59-14)

Немесе (59-14а)

г) Егер бет Ф(х,у,z) теңдеумен берілсе оның параметрлік теңдеуі

x=x(u, v) y=y(u, v)z=z (u, v)болса Ф(x(u, v) y(u, v) z (u, v))=0 тепе теңдік болар еді. Мұны u,v арқылы диффернциалдасақ

Бұдан { Фx, Фy, Фz} вектордың {xu, yu, zu} векторға да {xv, yv, zv} векторға да ортогонал болатыны көрінеді, ал жазықтықта жататын ={ Фx, Фy, Фz} жазықтыққа перпендикуляр болады.

Сондықтан бұл кездегі жанама жазықтық теңдеуі

(x-xo) Фx+(y-yoy+(z-zoz=0 (59-15) ал нормал түзу теңдері (59-14) болады.

Мысал. элипсоидқа оның М0 (xo, yo, zo) нүктесінен жүргізілген жанама жазықтығымен нормалының теңдеуін құрыңдар.

Шешуі: , , сонда (59-15) бойынша жанама теңдеуі

(x-xo) + (y-yo) +(z-zo) =0

Бұдан сонымен

Ал, нормалдық теңдеуі немесе болады.

 




Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2019 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных