Композиция преобразований

Композиция это цепочка последовательных преобразований.

Особенность выполнения композиции преобразований связана с операциями преобразования относительно произвольной точки.

Сложное преобразование определим, как цепочку основных преобразований, примененных последовательно.

Пусть к объекту применяется преобразование переноса на вектор Т(t_x t_y), а затем преобразование поворота относительно начала координат на угол a.

Выполним сначала перенос, обозначив результат через Р’=РМ(Т). Затем выполним поворот, обозначив результат через Р*, тогда

Р* = Р’ М(R(a)) или P* = P M(T) M(R(a)).

Воспользуемся свойством ассоциативности матричного умножения и выполним сначала умножение матриц М(Т) и M(R(a)). Результат представляет собой матрицу полного преобразования:

.

По аналогии можно определить матрицу любого сложного преобразования, состоящего из цепочки основных преобразований.

Пример 1. Определить матрицу преобразования, соответствующую повороту на угол a относительно точки С(х_с, у_с). Это преобразование можно осуществить в три этапа:

1) преобразование переноса на (-С) для того, чтобы совместить центр поворота с началом координат (так как нам известна матрица преобразования поворота только относительно начала координат);

2) преобразование поворота на угол a относительно начала координат;

3) преобразование переноса на С для возвращения центра поворота в прежнее положение.

Тогда полное преобразование будет иметь вид:

Пример 2. Определить матрицу, соответствующую преобразованию гомотетии с центром С(х_с, у_с) и масштабом Е(е_х, е_у).

Задача решается аналогично предыдущей, так как нам уже известна матрица центральной гомотетии (изменение масштаба относительно начала координат). Требуемое преобразование выполняется следующей цепочкой преобразований:

1) преобразование переноса на (-С) для совмещения центра гомотетии с началом координат;

2) преобразование масштаба на вектор Е;

3) преобразование переноса на (С) для возврата центра гомотетии в прежнее положение.

Тогда Р* = Р × М(Т(-С)) × М(Е) × М(Т(С)).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: