Множественная корреляция

Тесноту совместного влияния факторов на результат показывают коэффициент множественной детерминации и индекс множественной корреляции.

Качество построенной модели в целом оценивается коэффициентом множественной детерминации, который определяется формулой:

, (7.8)

где - остаточная сумма квадратов отклонений,

- общая сумма квадратов отклонений значений от среднего арифметического значения отклика Y.

Для линейной регрессии можно доказать следующее равенство: , где - факторная или регрессионная сумма квадратов отклонений.

Остаточная сумма квадратов отклонений характеризует суммарное отклонение наблюдаемых (эмпирических) данных от теоретических значений, найденных по уравнению регрессии. Факторная или регрессионная сумма квадратов отклонений характеризует разброс теоретических значений относительно среднего арифметического значения наблюдаемого значения (отклика).

Все свойства коэффициента детерминации указаны в ЛР №5. Так, значение этого коэффициента лежит в пределах от 0 до 1. Это значение показывает долю объясненной вариации результативного признака (отклика) за счет включенных в уравнение p факторов, т.е. насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязь между откликом и факторами. Доля необъясненной вариации отклика других, не учтенных в модели факторов, равна . Коэффициент детерминированности служит показателем тесноты связи между независимой переменной и факторами. Показателю тесноты связи можно дать качественную оценку (шкала Чеддока):

Таблица 7.1

Шкала Чеддок а

Величину для уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе можно определить по формуле

(7.9)

Индекс множественной корреляции так же характеризует тесноту связи между факторами и откликом. Индекс множественной корреляции связан с коэффициентом множественной детерминации естественным соотношением.

(7.10)

Очевидно что, значение лежит в пределах от 0 до 1. Также выполняется следующее соотношение , где парный индекс корреляции.

При линейной зависимости коэффициент множественной корреляции можно определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

, (7.11)

где , (7.12)- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

-, (7.13)

определитель матрицы межфакторной корреляции, полученный из матрицы парных коэффициентов корреляции вычеркиванием первой строки и первого столбца.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: