Тензор спина и малая группа Лоренца.
Вообще, спин есть собственный угловой момент элементарной частицы. Так, к примеру, для электрона спин . Это квантовое явление, и его проекция – – имеет место лишь для определенно выбранных направлений.
По теории Уленбека и Гаудсмита электрон должен обладать собственным механическим угловым моментом и соответствующим ему собственным магнитным моментом, который равен магнетону Бора.
Рассмотрим метод, которым можно ввести понятие спина в квантовую теорию.
Известно, что угловой момент движущейся частицы определяется тензором
.
Этот тензор является антисимметричным и определяется как
.
В свою очередь трехмерный вектор момента импульса (пространственная часть соответствующего тензора) определяется через векторное произведение и в системе покоя обращается в нуль:
.
Пространственно-временная же часть тензора в системе покоя в нуль не обращается:
.
Иначе говоря, тензор временеподобный.
Будем определять спин с помощью тензора , причем этот тензор – пространственноподобный: . Для этого тензора будет справедливо выражение . Раскроем это суммирование, положив при этом :
.
Так как тензор антисимметричный, член равен нулю за счет равенства нулю элемента . С другой стороны, распишем тензор :
.
Тем самым, имеем:
.
.
Иначе говоря,
.
В системе покоя этот вектор должен обращаться в нуль. Действительно,
.
Определим теперь некоторые свойства тензора :
ü Так как тензор антисимметричный, он будет иметь шесть независимых компонент.
ü Вследствие свойства пространственноподобности из этих шести компонент независимыми останутся только три.
ü Тензор спина, как и все другие тензоры, обладает инвариантом
.
В гипотезе Уленбека и Гаудсмита этот инвариант был определен как или, что то же,
.
Тем самым независимыми остаются лишь две компоненты – две степени свободы спина.
Отметим, что макроскопический угловой момент, определенный ранее, следует теперь называть орбитальным моментом , в отличие от спинового момента . В итоге, полный момент складывается из орбитального и спинового моментов:
.
Также несложно показать, что спиновый инвариант, именуемый инвариантом Любаньского-Паули, имеет следующий вид:
.
Рассмотрим, с каким свойством пространства связан закон сохранения спинового момента. Как уже упоминалось ранее, спиновый инвариант определен как
.
Чтобы учесть спиновый момент необходимо сделать замену вида
, .
Теперь, если повторить те же рассуждения, что были проведены ранее для закона сохранения момента импульса, то соответствующий закон сохранения будет получен из условия, что вариация функции Лагранжа должна быть равной нулю:
.
Если потребовать, чтобы , то первый член обернется в нуль.
Таким образом, мы получили, что преобразования пространственно-временного поворота в плоскости, перпендикулярной четырехмерному импульсу, являются преобразованиями симметрии при условии сохранения спинового момента. Такие повороты называют преобразованиями поворота из малой группы Лоренца (группа Пуанкаре может называться полной группой Лоренца):
.
Так как остается произвольным поворотом в перпендикулярной к скорости плоскости, , но тогда и
=> –
спин обладает двумя степенями свободы.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|