Уравнение Баргмана-Мишеля-Телледи.

Уравнение Баргмана-Мишеля-Телледи – это уравнение движения спина во внешних электромагнитных полях. В некотором смысле, это аналог силы Лоренца.

Согласно гипотезе Уленбека-Гаудсмита, справедливы следующие утверждения:

ü Электрон имеет собственный механический момент за счет своего вращения, который равен

.

ü Электрон имеет собственный магнитный момент, равный магнетону Бора:

.

ü Векторы магнитного и механического моментов электрона пропорциональны друг другу:

.

Очевидно также, что они параллельны. Иначе последнее утверждение можно записать как

.

Следует заметить, что в этих соотношениях все величины взяты для случая покоящегося электрона.

С точки зрения современной квантовой электродинамики, значение магнитного момента все-таки немного отличается от магнетона Бора и его можно записать в виде

,

где - аномальный магнитный момент электрона, появляющийся за счет взаимодействия электрона с электрон-позитронным вакуумом. Если за обозначит фактор Ланде, который для электрона примерно равен двум, то это выражение можно записать как

.

Аномальный магнитный момент впервые был подсчитан американским физиком Швингером в??49 году. Швингер определил значение фактора Ланде как

,

где - первая поправка. Здесь - постоянная тонкой структуры:

.

Эта малая поправка играет большую роль в динамике электрона. В этом случае аномальный момент можно записать следующим образом:

.

Если же учесть, что , то

.

Согласно экспериментальным данным, фактор Ланде для электрона равен

(современные эксперименты дают колоссальную точность – до двенадцатого знака после запятой!).

Необходимо заметить, что в этих данных добавка к магнитному моменту, хоть и малая, но все же константа .

Также, оказывается, что это утверждение справедливо лишь для слабых электромагнитных полей. Позже, в работе Бордовицына-Багрова-Чернова было показано, что магнитный момент электрона есть весьма сложная функция энергии электрона и величины магнитного поля.

Найдем теперь уравнение движения спина. Идея вывода состоит в том, что в начале определяется спина в системе покоя, а затем осуществляется ковариантный переход (или преобразования Лоренца) в лабораторную систему. Также делается предположение о том, что в системе покоя движение спина должно быть таким, чтобы оно не сопровождалось самопроизвольным выделением энергии.

Пусть .

Прецессия есть движение, при котором одна компонента углового момента есть постоянная в течение всего времени величина, а две другие компоненты зависят от времени гармоническим образом, но в среднем равны нулю:

, (рис. 2.3).

Прецессия единичного вектора описывается формулой Лармора:

, где .

Выведем формулу Лармора. Возьмем сначала (рис. 2.4). Тогда и или . Вектор связи между вращающимся вектором и углом поворота . Для получения формулы Лармора необходимо продифференцировать это выражение по времени:

.

Вернемся к описанию движения спина. Роль прецессирующего вектора в нашем случае играет вектор , а роль времени – собственное время :

– уравнение прецессии спина в системе покоя.

Частота уже известна – она совпадает с частотой обращения заряда в однородном электромагнитном поле:

– циклотронная частота.

Так как мы рассматриваем спин электрона, нам нужен знак "минус" в определении циклотронной частоты. Также следует учесть, что электрон обладает аномальным магнитным моментом. Частота с учетом фактора Ланде может быть записана следующим образом:

.

На самом деле, тот факт, что частота прецессии спина электрона совпадает с частотой обращения заряда в электромагнитном поле, является весьма примечательным. Это означает, что электрон в ходе вращения постоянно обращен одной и той же стороной, если, конечно, допустить, что возможно различить разные стороны электрона. В этом смысле его движение схоже по характеру с движение Луны вокруг Земли.

Здесь стоит отметить, что в случае, если бы фактор Ланде равнялся бы в точности двум, после полного оборота, совершенного электроном в магнитном поле, его спин был бы направлен в точности так же, как и в начальный момент времени. Однако, за счет того, что фактор Ланде лишь весьма близок к двум, после полного оборота спин направлен несколько иначе, чем первоначально (рис. 2.5).

В таком случае формула Лармора запишется как

.

Разделим это выражение на :

.

Запишем то же выражение в ковариантном виде:

.

Это – ковариантная форма записи прецессии спина в системе покоя.

Соответственно, в лабораторной системе

.

Необходимо проверить, верна эта формула или нет. Известно, что

.

=> .

Действительно,

.

С этой точки зрения полученная формула верна.

С другой стороны, известно, что должен быть пространственноподобным. Несложно показать, что полученный таким образом вектор спина пространственноподобным не является, и спиновое уравнение нуждается в поправке, добавка которой удовлетворит свойствам четырехмерного вектора спина без потери ковариантности.

Баргман, Мишель и Телледи предложили поправку вида , где для выполнения второго условия необходимо определить так, чтобы второе условие выполнялось. Из условия равенства нулю производной от вышеупомянутого инварианта, для было получено значение

.

В итоге, полученное уравнение

носит название уравнения Баргмана-Мишеля-Телледи.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: