Кеңістіктегі түзу

Кеңістіктегі түзуді екі жазықтықтың қиылысу нәтижесі деп қарастыруға болады. Бұл жағдайда бұл жазықтықтардың теңдеулерінің жиынтығы түзуді анықтайды және кеңістіктегі түзудің жалпы теңдеуі деп аталады. Егер жазықтықтар параллель емес және беттеспесе (ондай жағдай мүмкін, егер матрицаның рангы екіге тең), онда соңғы жүйе түзуді беретіні айқын.

Түзуде жататын нүкте, түзуге параллель вектор (ол бағыттаушы вектор деп аталады), кез келген нүктесінің –радиус-векторы, нүктесінің - радиус-векторы белгілі болсын. болғандықтан, теңдігін қанағаттандыратын табылады.

Сурет 2.1.3

2.1.3 суретінен немесе - кеңістіктегі түзудің векторлық теңдеуі екендігі көрінеді. Бұл теңдікте вектордың координаталарына көшсек, түзудің параметрлік теңдеулерін аламыз: . Әрбір теңдеуден –ны тауып нәтижелерді теңестіріп, түзу теңдеуінің канондық түрін аламыз. . Егер векторы координата осьтерімен бұрыштарын жасайтын болса, онда , , – түзудің бағыттаушы косинустарын аламыз. Егер канондық теңдеуде бағыттаушы вектор ретінде векторын алсақ, – және екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін аламыз. Ескере кетейік, егер жоғарыдағы теңдеулерде z координатасын алып тастасақ, жазықтықтағы түзу теңдеулерінің аналогын аламыз.

Анықтама. Кеңістіктегі екі түзудің арасындағы бұрыш деп кеңістіктің кез келген нүктесі арқылы өткізілген берілген түзулерге параллель түзулер арасындағы екі бұрыштың кез келген біреуін айтамыз.

және екі түзудің канондық теңдеулері белгілі болсын. Олардың арасындағы бұрышы олардың және бағыттаушы векторларының арасындағы бұрышқа тең, яғни . Егер түзулер параллель болса, онда және векторлары коллинеарлы және шарты орындалады; егер перпендикулярлы болса, онда және векторлары перпендикулярлы және шарты орындалады.

Анықтама. Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш деп түзу мен оның жазықтыққа түскен проекция арасындағы сыбайлас бұрыштардың біреуі айтылады.

жазықтықтың жалпы теңдеуі мен түзудің канондық теңдеуі берілген болсын.

Сурет 2.1.4

2.1.4 суретінен түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш -ге тең екенін көруге болады, мұндағы – түзудің бағыттаушы векторы мен жазықтықтың нормаль векторомы арасындағы бұрыш. Сондықтан немесе . Егер және векторлары перпендикуляр болса, онда түзу мен жазықтық та перпендикуляр болады. Сондықтан – түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық шарты; – түзу мен жазықтықтың параллельдік шарты.

2.2 Дәріс 7. Екінші ретті сызықтар (қисықтар)

Дәріс мазмұны: екінші ретті сызықтардың жалпы және канондық теңдеулері.

Дәріс мақсаты: шеңбердің, эллипстің, гиперболаның, параболаның канондық теңдеуі бойынша қасиеттерін қарастыру.

Алдыңғы Дәрісте айтылғандай, екі айнымалысы бар бірінші ретті теңдеу – Оху жазықтығындағы қандай да бір түзуді анықтайды. Сонымен, жазықтықтағы түзуді бірінші ретті сызық деп есептеуге болады. Екінші ретті сызық немесе қисықты қарастырайық. Жалпы жағдайда екінші дәрежелі екі айнымалы теңдеу мына түрде беріледі:

(2.1).

Бұл теңдеу екінші ретті қисықтың жалпы теңдеуі деп аталынады. Коэффици-енттердің әртүрлі мәндерінде (2.1) теңдеуі әртүрлі екінші ретті қисықтардың біреуін анықтайды. Атап айтқанда шеңбер, эллипс, гипербола, парабола, екі қиылысатын түзуді, екі параллель түзуді, екі жапсырылған түзуді, нүктені, нүктенің жорамал орнын. Мысалға, теңдеуін және -тің ешқандай нақты мәні қанағаттандырмайды, сондықтан ол бос немесе жорамал нүктелер жиынын анықтайды; немесе теңдеуі екі параллель түзуді және анықтайды. Екінші ретті қисықтардың шеңбердің, эллипстің, гиперболаның және параболаның қарапайым немесе канондық теңдеулерін қарастырайық.

Шеңбер

Жоғарыда шеңбердің теңдеуі (2.2) қорытылып шығарылды, мұндағы - шеңбердің центрі, – радиусы. (2.2) – шеңбердің канондық теңдеуі. Егер жақшаларды ашып, түрлендіру жасасақ мына түрдегі шеңбердің теңдеуін аламыз . Сонымен, егер және болса, онда (2.1) теңдеуі шеңбердің теңдеуі екеніне оңай көз жеткізуге болады. Егер шеңбердің центрі координата басында орналасса, онда . Шеңбердің параметрлік теңдеуі: (центрі нүктесінде) немесе (центрі координата басында).

Эллипс

Анықтама. Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден және қашықтықтарының қосындысы әрқашан тұрақты шама болатын нүктелердің геометриялық орындарын эллипс дейміз.

Фокустарының ара қашықтықтарын арқылы, ал тұрақты шаманы – арқылы белгілейік (шарт бойынша ). Координата жүйесін Ох осі фокустар арқылы өтетіндей, ал координата басы кесіндісінің ортасы болатындай етіп таңдап аламыз. – эллипсбойындағы кез келген нүкте.

Сурет 2.2.1

Сонда анықтама бойынша , мұндағы , . Сонымен, эллипстің теңдеуі аламыз , оны ықшамдасақ – эллипстің канондық теңдеуі, мұндағы . Канондық теңдеуі бойыншаэллипстің пішінін оңай анықтауға болады: координата басы симметрия центрі, координата осьтері – эллипстің симметрия осьтері болады. нүктелері эллипстің төбелері, – үлкен, – эллипстің кіші жарты осі, – жарты фокустік ара қашықтық. шамасы – эллипстің эксцентриситеті, ол эллипстің сопақтығын сипаттайды. Егер және болса, онда шеңберді эллипстің дербес жағдайы деп қарастыруға болады. Сонымен, эллипс үшін . жағдайын қарастырдық.

Егер , онда фокустер ордината осінде орналасады және барлық жерде, жоғарыдағы формулаларда мен орындарын ауыстырып жазу керек.

Гипербола

Анықтама. Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден және қашықтарының айырымы әрқашан тұрақты шама болатын нүктелердің геометриялық орындарын гипербола дейміз.

Гиперболаның теңдеуі эллипс теңдеуі сияқты табылады. Гиперболаның канондық теңдеуі теңдеуі , мұндағы .Координата басы симметрия центрі, координата осьтері – гиперболаның симметрия осьтері болады. нүктелері гиперболаның нақты төбелері, – нақты жарты осі деп аталады. нүктелері гиперболаның жорамал төбелері, ал – жорамал жарты осі деп аталады. – жарты фокустік ара қашықтық. Фокустар абсцисса осінде орналасқан, координата басына қарағанда симметриялы (2.2.2 сурет).

Сурет 2.2.2

Канондық теңдеуі болатын гипербола гиперболасына түйіндес деп аталады. Ол үшін – нақты жарты ось, –жорамал, – жарты фокустік ара қашықтық. Фокустер ордината осінде орналасқан. – гиперболаның эксцентриситеті, . Гиперболаның екі асимптотасы бар, яғни асимптота деп координатаның бас нүктесінен өтетін және гиперболаның тармақтары шексіз алыстағы нүктелерде кездесетін түзуді айтамыз. Асимптоталар теңдеулері: . Гиперболаны оңай салу жолы: алдымен қабырғалары және болатын координата осьтеріне параллель, ценрі координата басы болатын тік төртбұрыш салып аламыз. Бұл тік төртбұрыштың диагоналдары гиперболаның асимптоталары болады. Қабырғаларының координата осьтерімен қиылысу нүктелері – гиперболаның нақты төбелері (Ох осімен: гиперболасының төбелері, Оу осімен: гиперболасының төбелері). Осыдан кейін гиперболаның өзін салу көп еңбек талап етпейді.

Парабола

Анықтама. Фокустар деп аталатын берілген нүктеден және директриса деп аталатын берілген түзуден ара қашықтары бірдей болатын нүктелердің геометриялық орындарын парабола дейміз.

Параболаның фокусы абсцисса осінде жатқан болсын, директриса осы оське перпендикуляр және фокус екеуі координата басынан бірдей қашықтықта орналасқан. Фокус пен директриса арасындағы ара қашықтық -ға тең болсын ( -параболаның параметрі деп аталады). Сонда, параболаның анықтамасын ескерсек, оның канондық теңдеуі . Плюс таңбасы, егер теңдеуі директрисы , фокус , парабола жарты жазықтықта орналасады (2.2.3 сурет). Минус таңбасы, егер директриса теңдеуі , фокус , парабола сол жарты жазықтықта орналасады. Абсцисса осі параболаның симметрия осі болады, параболаның симметрия осімен қиылысқан нүктесі төбесі деп аталады, бұл параболалар үшін координата басы оның төбесі болып табылады.

Сурет 2.2.3 Сурет 2.2.4

Егер ордината осі симметрия осі болса, онда, теңдеулерін аламыз. Егер теңдеуі директрисы , плюс таңбасы, фокус , парабола жоғарғы жарты жазықтықта орналасады (2.2.4 сурет). Минус таңбасы, егер теңдеуі директрисы , фокус , парабола төменгі жарты жазықтықта орналасады

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: