Дәріс 8. Екінші ретті беттер

Дәріс мазмұны: екінші ретті беттердің жалпы және канондық теңдеулері.

Дәріс мақсаты: беттердің формасын және қасиеттерін параллель қию әдісімен зерттеу.

Тік бұрышты координаталар жүйесі Oxyz берілген болсын. Егер бұл бетке тиісті кез келген нүктенің координаталары F(x,y,z)=0 теңдеуді қанағаттандырса, онда бұл теңдеу беттің теңдеуі деп аталады. Бұл теңдеудің дәрежесі беттің реті деп аталады. Сонымен, жазықтық – бұл бірінші ретті бет. Екінші ретті бет x, y, z айнымалыларына қатысты екінші ретті теңдеуімен беріледі

(3.1)

Бұл теңдеу екінші ретті беттің жалпы теңдеуі деп аталады, коэффициенттердің әртүрлі мәндерінде ол тоғыз беттің біреуін анықтайды: сфера, эллипсоид, бір қуысты немесе екі қуысты гиперболоид, эллиптикалық немесе гиперболалық параболоид, цилиндр, конус. Одан басқа ол екі жазықтықтың жиынтығын, нүктені, түзуді немесе нүктенің жорамал орнын да анықтай алады. Екінші ретті беттің қарапайым немесе канондық теңдеулерін қарастырайық. Бұл беттердің пішінін және орналасуын параллель қию әдісімен зерттейді: бет координата жазықтығына параллель жазықтықтармен қиылады, алынған қиманың пішіні мен өлшеміне қарап берілген бет туралы қорытынды жасайды. Тоғыз негізгі екінші ретті бетттердің біреуі – эллипсоидтың пішіні мен қасиеттерін зерттейік, қалғандарының қасиеттері сол сияқты зерттеледі.

(*) ( ) теңдеуімен анықталған бет эллипсоид деп аталады. (*) теңдеуі эллипсоидтың канондық теңдеуі деп аталады. (*) теңдеуіне x, y, z жұп дәрежемен енгендіктен, эллипсоид координата жазықтықтарына, осьтерге, координата басына қарағанда симметриялы. Эллипсоидтың пішінін анықтау үшін параллель қию әдісін қолданамыз. Эллипсоидты Oxy координата жазықтығына параллель жазықтықтармен, яғни жазықтықтармен қиямыз. Кеңістікте қима сызықтарының теңдеуі мына түрде болады: .

z –ті бірінші теңдеуге қойып, бұл сызықтың Oxy жазықтығына проекциясының теңдеуін немесе , мұндағы , аламыз. Сонымен, қимада жарты осьтері және эллипстер. Осы сияқты нәтижелер эллипсоидты және жазықтықтарымен қиғанда алынады: қимасында тағы да эллипстер (егер , онда эллипсоид бұл жазықтықтармен қиылыспайды). Сонымен, эллипсоид 2.3.1 суретінде кескінделген бет.

Сурет 2.3.1

сандары эллипсоидтың жарты осьтері деп аталады. Егер олар әртүрлі болса, онда эллипсоид үш осьті деп аталады. Егер қандай да бір екі жарты осьтері тең болса, мысалға, , онда Oxy-ке параллель қимада шеңберлер шығады, ал эллипсоидты Oxz жазықтығында орналасқан эллипсін Oz осі бойымен айналдырғанда алуға болады. Бұл жағдайда эллипсоид айналу эллипсоиды деп аталады. Егер , онда эллипсоидтың дербес жағдайы – радиусы , центрі координаталар басында болатын сфераны аламыз.

Екінші ретті сызықтардың графигі, канондық теңдеулері, қималары кестеде көрсетілген:

Кесте 2.3.1

Канондық теңдеулері	Графигі	Қимасының сызықтары
эллипсоид		- эллипс - эллипс - эллипс
бір қуысты гиперболоид		эллипс - гипербола эллипс

2.3.1 Кестенің жалғасы

екі қуысты гиперболоид		- гипербола -эллипс - гипербола
эллиптикалық параболоид		-эллипс - парабола - парабола
гиперболалық параболоид		-парабола -парабола -екі түзу
1) эллиптикалық цилиндр, 2) гиперболалық цилиндр, 3) параболалық цилиндр.		1) , -эллипс 2) түзулер, гипербола 3) - парабола
конус		-эллипс түзулер гипербола гипербола

Ескерте кетелік, келесі қима сызықтар қарастырылды: z=0 және z=h – Oxy координата жазықтығы және оған параллель жазықтықтар, y=0 және y= h – Oxz координата жазықтығы және оған параллель жазықтықтар, x=0 және x=h – Oyz координата жазықтығы және оған параллель жазықтықтар.

Дәріс 9. Квадраттық формалар. Квадраттық формалардың

геометриялық қолданымдары (приложения)

Дәріс мазмұны: квадраттық формалар. Екінші ретті қисықтардың

теңдеулерін канондық түрге келтіру.

Дәріс мақсаты:Квадраттық формалардың геометриялық қолданымдары

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: