Оператордың матрицасын диагональды түрге келтіру

Жоғарыда айтылғандай, оператордың матрицасы базисты таңдауға байланысты. Және де орындалады, мұндағы – базисіндегі оператордың матрицасы, – базисіндегі оператордың матрицасы, - базисінен базисіне көшу матрицасы. Матрица қарапайым түрде, мысалыға, диагональды түрде болатын базис бар екені айқын. Егер қанағаттандыратын Т матрицасы табылатын болса, онда матрицасы диагональды түрге келтіріледі, мұндағы – диагональды матрица.

Теорема. операторының матрицасы диагональды түрге келтіру үшін базисінде базистің барлық векторлары оператордың меншікті векторлары болу керек.

Матрицаны диагональды түрге келтіру шарттары:

1) егер оператордың n әртүрлі меншікті мәндері бар болса, онда n- өлшемді кеңістігінде меншікті векторлардан тұратын базис бар болады. Бұл базисте оператордың матрицасы диагональды түрде жазуға болады: ;

2) Егер меншікті мәндер арасында еселілері болса да, оператор матрицасы диагональды түрге келтіріледі, бірақ әрбір меншікті мәнге еселігі сананы тең сызықты тәуелсіз меншікті вектор сәйкес келу керек.

Кез келген матрицаны диагональды түрге келтіруге болмайтыны белгілі. Симметриялы оператордың матрицасын (яғни симметриялық матрицаны) диагональды түрге келтіруге болатыны дәлелденген. Сонымен қатар, егер - симметриялы оператордың матрицасы болса, онда , мұндағы = – диагональды матрица, - матрицасының меншікті мәндері, Т –ортогональды оператордың матрицасы (яғни ортогональды матрица), ол берілген базистен оператордың меншікті векторларының базисіне көшуді қамтамасыз етеді. Т матрицасының бағандары оператордың меншікті векторларының координаталары болады.

Мысалы 1.5.1 – Қандай да бір базисте оператордың матрицасы берілген. Осы матрицасының меншікті мәндерімен меншікті векторларын табайық. Ол үшін сипаттаушы (характеристикалық) теңдеу құрып, шешеміз:

.

Екі түбір алдық, біреуі екі еселі. Олар оператордың (матрицаның) меншікті мәндері болады. Осы меншікті мәндерге сәйкес меншікті векторларын табайық:

а) , .

Жүйе матрицасының рангы 1-ге тең, сондықтан жүйе бір теңдеуге мәндес. Бір белгісіз, мысалы, базисті, ал екеуі – бос белгісіздер болсын. – жалпы шешімі (сонымен қатар меншікті мәніне сәйкес келетін меншікті векторлардың жиыны). Іргелі жүйе n-r =3-1=2 вектордан тұрады. Шетінен бос белгісіздерге анықтауыштың жол мәндерін береміз :

1) , сонда жалпы шешімнен . Сонымен, – іргелі жүйенің бірінші векторы;

2) , сонда . – іргелі жүйенің екінші векторы. Сонымен, екі еселі меншікті мәнге екі сызықты тәуелсіз және меншікті векторлары жауап береді.

б) , . Жүйенің матрицасының рангын табайық: . Ранг 2-ге тең. – базистік минор, – базистік белгісіздер, – бос белгісіз. Жүйе жүйесіне мәндес. – жалпы шешімі және меншікті мәніне сәйкес келетін меншікті векторлардың жиыны. Іргелі жүйе n-r=3-2=1 вектордан тұрады. Соны табайық. Бос белгісіз =1 болсын, сонда . векторы шешімдердің іргелі жүйесін құрайды. Сонымен, бір еселі меншікті мәнге бір меншікті вектор жауап береді. үш векторы кеңістігінің базисін құрайды, себебі іргелі жүйеніңшешімдерінің векторлары болып табылады. Бұл базисте оператор матрицасы диагональды түрде бола алады

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: