Екінші ретті қисықтардың теңдеулерін қысқарту

Екінші ретті қисықтардың жалпы теңдеулерін қарастырайық

(2.1).

Жоғарыда атап өткендей, (2.1) теңдеудің коэффициенттерінің әртүрлі мәндерінде әртүрлі қисықтарды шеңберді, эллипсті, гиперболаны, параболаны немесе пайда болған сызықтар (қиылысатын түзулер жұбы, параллель түзулер жұбы, беттескен түзулер жұбы, нүктені және нүктенің жорамал орны) анықтайды. Одан басқа, сызық теңдеуінің түрі координаттар жүйесін таңдауға байланысты: әртүрлі жүйелерде бір сызық әртүрлі теңдеулермен беріледі. Сызықтың канондық теңдеулері бізге белгілі. Сондықтан сызықтың түрін анықтау үшін, берілген теңдеуде жазықтықта координаттарды түрлендіру қолданады. Сызықтың теңдеуі берілген координаттар жүйесін параллель көшіру және айналдыру көмегімен мына түрде түрлендіреміз: координаттар басы сызықтың (эллипс, гипербола) центрімен немесе төбесімен (парабола) беттеседі, ал симметрия остері координата остеріне параллель болады. Сонда жаңа жүйеде сызықтың теңдеуі канондық түрде болады. Екі жағыдайды қарастырайық.

1. (1) теңдеуде -і бар мүше жоқ, яғни .

Онда координаттар басын сызықтың центріне немесе төбесіне параллель көшіру арқылы сызықтың теңдеуі канондық түрде болатын жаңа жүйе аламыз. Оны және бар мүшелерді толық квадратқа толықтыру арқылы қол жеткізуге болады.

Мысал 2.4.2 - сызығының теңдеуін канондық түрге келтіру керек және оның сызбасын салу керек.

Шешуі: және бар мүшелерді толық квадратқа толықтырамыз:

.

Жаңа айнымалы енгіземіз

(*).

(*) формулалары координат жүйесін параллель көшіргенде координаттарды түрлендіру формулалары болып табылады. - жаңа координаттар басы. жүйесінде сызықтың теңдеуінің канондық түрі , бұл нақты жарты осі және жорамал жарты осі болатын гипербола теңдеуі (2.4.1 сурет)

Сурет 2.4.1

Мысал 2.4.3 - сызығының теңдеуін канондық түрге келтіру керек және оның сызбасын салу керек.

Шешуі: сызықтың теңдеуінде енген мүшесі және енген мүшесі жоқ болғандықтан, бұл канондық түрі болатын параболаның сызығы. Теңдеуді осы түрге келтіреміз, ол үшін бар мүшелерді толық квадратқа толықтырамыз:

.

Ауыстыру енгізейік (*).

(*) формулалары координат жүйесін параллель көшіргенде координаттарды түрлендіру формулалары болып табылады. – жаңа координаттар басы. жүйесінде сызықтың теңдеуінің канондық түрі – нүктесінде төбесі, тармағы жоғары қараған парабола. Параболаның сызбасын дәлірек салу үшін оның ескі координат остерімен қиылысу нүктелерін табамыз. Ох осімен: у=0 ; Оу осімен: х=0 (сурет 2.4.2).

Сурет 2.4.2

2. (2.1) теңдеуінде енетін мүшесі бар жалпы жағдай. Түрлендіру арқылы координат жүйесін белгілі бұрышқа бұру арқылы, жаңа координат жүйесінде сызықтың теңдеуніде бұл мүшені болдырмаймыз.

Атап айтқанда: (2.1) теңдеуінің үлкен мүшелерінен құралған квадраттық форманы қарастырайық. Жоғарыда көрсетілген әдіспен оны канондық түрге келтіреміз . Ол үшін осы ауыстыруды қамтамасыз ететін ортогональтүрлендіруді қарастырамыз (ол сонымен қатар жүйені айналдыратын түрлендіру де

болады). Түрлендіру формулалары көмегімен жаңа координат жүйесіндегі кіші мүшелердің түрін анықтаймыз. Сонымен, координат

жүйесін бұрғаннан кейін сызықтың теңдеуі мына түрде болады

.

Қалған түрлендіруді 1 жағдайдағыдай жасаймыз. Ол үшін келесі мысалды қарастырайық.

Мысал 2.4.3 - сызығының теңдеуін канондық түрге келтіру керек және оның сызбасын салу керек.

Шешуі: Теңдеудің үлкен мүшелерінен тұратын квадраттық форманы қарастырайық. Оны канондық түрге келтіреміз (мысал 2.4.1).

– ортогональ түрлендіруінің матрицасы, ол квадраттық форманы канондық түрге келтіреді және жүйені бұру (айналдыру) матрицасы, яғни . – бұрғандағы координаталарды түрлендіру формулалары. Сонымен, үлкен мүшелері былай түрлендірілді:

;

кішілері – былай:

= .

жүйесінде сызықтың теңдеуі мына түрде болдады

.

Әрі қарай қысқартулар жасау үшін координат жүйесін параллель көшіру түрлендіруін жасаймыз. Ол үшін және бар мүшелерді толық квадратқа толықтырамыз:

немесе

.

Ауыстыру жасаймыз (*).

(*) формулалары координат жүйесін параллель көшіргенде координаттарды түрлендіру формулалары болып табылады.

нүктесі – жаңа координаттар басы. жүйесінде сызықтың теңдеуінің канондық түрі . Бұл жорамал жарты осі және нақты жарты осі болатын гипербола.

көшуіндегі бұрышты анықтау үшін базисін, ал көшкендегі жүйесіндегі базисін қарастырайық. – бұру түрлендіруі матрицасы болғандықтан, және базистік векторлардың бейнесі (образы) базисі бойынша былай жіктеледі: . Соңғы теңдікті 5-ке көбейтіп, және векторларын аламыз. Олар және векторларына коллинеарлы: . Сонымен, бұру бұрышын білудің қажеті жоқ, жүйесінде және векторлары бойынша және векторларын салу жеткілікті. Бұл векторлар және жаңа координат остеріне бағыттас. Сызбасын салайық (сурет 2.4.3).

Сурет 2.4.3

Сызбасы дәлірек шығуы үшін ескі координаталар остерімен қиылысу нүктелерін табамыз: Ох осімен: у=0 ; Оу осімен: х=0 дискриминант , яғни Оу осімен қиылысу нүктелері жоқ.

Осымша А

Комплекс сандар

комплекс сан деп түріндегі өрнек айтылады (комплекс санның алгебралық түрі), мұндағы – нақты сандар, – жорамал бірлік. және сандарын комплекс санының сәйкес нақты және жорамал бөлігі деп атайды, , деп белгіленеді. саны комплекс санына түйіндес деп аталады. Келесі өрнектер орынды

1) ;

2) .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: