Эквивалентность ставок i и d

Эквивалентные ставки – это различные процентные ставки, обеспечивающие равные финансовые результаты.

Определим соотношения простых ставок i и d при условии равенства доходов, выплачиваемых при декурсивном проценте (I = Pni), и доходов, выплачиваемых при авансовом проценте (D = Snd).

Имеем

I = D или Pni = Snd.

Отсюда

i = d: (1 – nd),

d = i: (1 + in).

Данные тождества выводятся из предположения, что исходные и производные суммы денег равны, поэтому ставки i и d являются эквивалентными и приносят одинаковый доход при начислении простых процентов и одинаковом временном промежутке.

Если срок финансовой операции меньше года, т. е.

n = t: К,

где К – временная база, равная 360 или 365 (366) дням (12 месяцам), то формулы преобразуются следующим образом:

i = d: (1 – dt: К),

d = i: (1 + it: К),

где t – продолжительность периода в днях (месяцах).

Пример. Доходность дисконтной ценной бумаги со сроком обращения 3 месяца оценена в виде дисконтной ставки, равной 100% годовых, а доходность размещения средств на депозит на срок 3 месяца – 120% годовых. Сравните эффективность этих операций.

Решение. Воспользуемся формулой

i _экв = d: (1 – dt: К) =1: (1 – 1 × 3: 12) = 1,33.

Таким образом, доходность дисконтной бумаги выше, чем размещение средств на депозит (133% больше 120%).

Сложный процент

Расчеты по правилу сложных процентов часто называют начислением процентов на проценты, а процедуру присоединения начисленных процентов – их реинвестированием, или капитализацией. При этом начисление процентов может происходить один раз в год, чаще одного раза в год и непрерывно.

1. Начисление процента один раз в год.

При начислении в банке сложного процента один раз в год вкладчик в конце года получит

S ₁ = P (1 + i).

В конце второго года его капитал возрастет до

S ₂ = P (1 + i) + P (1 + i) i = P (1 + i) (1 + i) = S (1 + i)².

В конце третьего года он составит

S ₃ = P (1 + i) + P (1 + i) i = P (1 + i) (1 + i) = S (1 + i)³.

Через n лет первоначальная сумма (P) на счете вырастет до величины (S_n):

, (6)

где i – годовая базовая (номинальная) ставка.

Величины (1 + ni) и (1 + i) ⁿ называются коэффициентами (множителями) наращения соответственно простых и сложных процентов.

В ряде случаев проценты представляют скидку с некоторой конечной суммы, принимаемой за 100%. Например, в банковской практике учета векселей стоимость векселя является конечной суммой, с которой производится скидка по определенной ставке, называемой учетной (d).

Разница между стоимостью векселя и суммой, которую банк выдаст по этому векселю, называется дисконтом. Если вексель учитывается за один год до погашения, то величина дисконта (D) может быть определена по формуле

D = Sd,

а сумма, которую получит векселедержатель (она является в данном случае первоначальной), определится как

P = S – D = S – Sd = S (1 – d). (7)

Если учет происходит за несколько (n) лет до погашения, то формула (7) примет вид:

– при простой учетной ставке

P = S (1 – nd); (8)

– при сложной учетной ставке

P = S (1 – d)ⁿ. (8а)

2. Проценты начисляются несколько раз в год.

Предположим, что начисляются сложные проценты m раз в год, тогда в целом за год наращенная сумма составит

, (9)

где m – число начислений процентов или расчетных периодов в течение года.

Если финансовая операция продолжается n лет, то формула (9) будет иметь вид

. (10)

3. Проценты начисляются непрерывно.

Для случая непрерывного начисления процентов наращенная сумма за n лет определится формулой

, (11)

где e – число Эйлера, которое используется как основание натурального логарифма (2,71828...);

q – годовая непрерывная ставка (при уменьшении периода начисления процентов до бесконечно малой величины проценты будут начисляться непрерывно);

n – период времени начисления процентов.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: