Геометрические приложения определенного интеграла .

Пусть функция непрерывна и неотрицательна на . Тогда площадь криволинейной трапеции (рис.5), ограниченной графиком функции , осью и прямыми вычисляется по формуле

.

	Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси , вычисляется по формуле   .

Рис. 5

Длина дуги , заданной графиком функции , вычисляется по формуле

.

Если функция задана параметрически уравнениями , , где , то

, ,

.

Пусть в полярной системе координат задана функция , где – полярный угол, – полярный радиус точки.

		Если функция непрерывна на , то площадь криволинейного сектора , ограниченного графиком функции и лучами , (рис. 6), вычисляется по формуле:   .

Рис. 6

Длина дуги вычисляется по формуле .

Пример. Вычислить длину одной арки циклоиды , , .

Решение. Нарисуем арку циклоиды (рис. 7). Заметим, что если меняется от 0 до , то возрастает от 0 до , а сначала возрастает от 0 до , а затем убывает до 0.

Рис. 7

.

211 − 220. Несобственные интегралы – это обобщение понятия определенного интеграла для случая, когда либо неограниченным является промежуток интегрирования, либо неограничена подынтегральная функция на отрезке интегрирования. Рассмотрим эти два случая.

1. Пусть функция непрерывна на , тогда называется несобственным интегралом от функции на промежутке и обозначается , т.е.

,

при этом, если существует конечный предел, говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае – расходится.

Аналогично

,

, (1)

при этом несобственный интеграл в левой части формулы (1) называется сходящимся, если оба несобственных интеграла в правой части формулы (1) сходятся (число а в формуле (1) можно выбрать произвольно).

2. Пусть функция непрерывна на и , тогда называется несобственным интегралом и обозначается , т.е.

,

при этом, если существует конечный предел, то несобственный интеграл называется сходящимся.

Возможны другие случаи, например,

.

Следовательно, несобственный интеграл расходится.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: