Решение задач нелинейного программирования методом множителей Лагранжа

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Метод множителей Лагранжа, как и метод приведенного градиента, предназначен для решения задач с дважды непрерывно дифференцируемыми целевыми функциями и функциями системы ограничений. Ограничения также задаются в виде равенств.

Выражение u = f (x, y) - lg(x, y) называется функцией Лагранжа.

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

Рассмотрим более сложную ситуацию, когда число переменных равно .

Пусть дана оптимизационная задача

где: , , функция и вектор-функция непрерывны, имеют непрерывные 1 и 2 производные. Сформируем функцию Лагранжа

где - вектор множителей Лагранжа, . Для стационарной точки функции Лагранжа имеют место условия:

Можно показать, что необходимые условия существования экстремума для функции Лагранжа и для сформулированной оптимизационной задачи совпадают. Следовательно, задача условной оптимизации оказывается эквивалентной задаче безусловной оптимизации функции Лагранжа. Достаточные условия существования экстремума задачи в методе множителей Лагранжа определяются следующим образом.

является точкой максимума оптимизационной задачи, если, начиная с главного минора порядка (m+1) матрицы H, следующие (n-m) главных миноров образуют знакопеременный числовой ряд, знак которого определяется множителем . Точка является точкой минимума, если, начиная с главного минора порядка (m+1) матрицы H, знаки последующих главных миноров определяются множителем . Однако на практике, в силу большой вычислительной сложности, эти условия используются редко. Чаще наличие экстремума в стационарной точке проверяется с помощью исследования величины функции W(X) в малой окрестности этой стационарной точки.