Взаимно однозначное соответствие между множествами

Если два множества состоят из одного и того же конечного числа элементов, то между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие., т.е. такое соответствие, при котором каждому элементу одного множества соответствует один и только один элемент другого множества, и обратно. Если число элементов первого множества меньше, чем второго, то можно установить взаимно однозначное соответствие между первым множеством и частью второго. Можно установить однозначное соответствие между множествами.

Например, множество А состоит из всех целых положительных чисел, множество В из всех целых отрицательных.

Определение 6. Два множества называются количественно эквивалентными, если между ними возможно установить взаимно однозначное соответствие. Тогда эти два множества называются просто эквивалентными множествами.

Замечания: 1) Относительно двух эквивалентных множеств говорят, что они имеют одинаковую мощность.

2) Два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они состоят из одного и того же конечного числа элементов.

3) Если .

4) Мощность - это то, что есть общего у всех эквивалентных между собой множеств.

Если множество конечное, то мощность конечного множества равна количеству элементов этого множества.

Таким образом, мощность конечного множества есть конечное число.

Определение 7. Множество, эквивалентное множеству всех натуральных чисел, называется счетным множеством.

Таким образом, счетное множество это такое множество А, все элементы которого могут быть занумерованы в бесконечную последовательность: а₁, а₂, …, а_n, так, чтобы каждый элемент получил лишь один номер “n” и, обратно, каждое натуральное число “n” было бы в качестве номера дано одному и лишь одному элементу множества.

Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным множеством.

Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами является частным случаем общего понятия отображения: если каким–то образом каждому элементу “х” некоторого множества Х поставлен в соответствие определенный элемент “y” некоторого множества У, то говорят, что имеется отображения множества Х во множество У, или f, аргумент который изображает множество Х, а значения принадлежат множеству У: и пишут .

Ø Мощность счетного множества равна бесконечности;

Ø Мощность несчетного множества имеет континуум;

Например, мощность множества чисел отрезка [0, 1].

Определение 8. Множество М, состоящее из действительных чисел, называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число , что все элементы этого множества меньше (больше), чем .

Множество называется ограниченным, если оно одновременно ограничено и сверху и снизу.

Если множество М непустое и оно ограничено сверху, то число называется верхней гранью множества М. Верхняя грань может принадлежат множеству М или не принадлежать. Верхнюю грань обозначим

Например, множество (0, 1) (М), верхняя грань имеет . Если М=(0, 1], то .

Теперь пусть дано непустое множество М, ограниченное снизу. Тогда называется нижней гранью множества М. Обозначается .

Например: М=(3; 4], inf .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: