Алгебра высказываний

Математическая логика это наука, использующая математические методы для исследования способов рассуждений (выводов); математическая теория дедуктивных способов рассуждений.

Математической логикой называют также логику, которой пользуются в математике. Математическая логика имеет своей целью выявление и систематизацию логических процессов, употребляемых в математических рассуждениях, а также разъяснение математических понятий.

Учение о высказываниях называется алгеброй высказываний и является первой из формальных логических теорий.

Под высказыванием понимают всякое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.

Например, 1) Москва столица России – истинно;

2) 5 >10 – ложно.

Высказывания могут быть образованы с помощью слов, или каких–либо знаков (символов). Не всякое предложение является высказыванием. Про них нельзя говорить истинны или ложны эти высказывания. Не являются высказыванием и предложения, содержащие определения, призывы, вопросы.

Например, геометрической фигурой называется любое множество точек; был звонок? Высказывания будем обозначать буквами А, В, … или X, Y, Z, … или p, q,..

Их значения, т.е, истину или ложь, будем обозначать И и Л, или 1 и 0. Будем рассматривать только такие высказывания, величины, принимающие значения

И и Л. Из данных высказываний при помощи логических связок можно образовать новые высказывания, более сложные. Такими связками являются

“не”, “и”, “или”, “если …, то”.

Определение 1. Отрицание.

Каждому высказыванию Х можно сопоставить утверждение, заключающееся в том, что Х ложно. Обозначается .

Если Х – истинно, то - ложно или если Х – ложно, то - истинно.

Например, 2 > 3 – ложно, то - истинно;

2+3=5 – истинно, то - ложно.

Пусть 0 – означает ложно, а 1 – истинно.

Тогда можно составить таблицу истинности:

Х

Определение 2. Высказывания, составленные из данных высказываний Х и У при помощи слова “И” называют произведением (конъюнкцией) высказываний и обозначают & . Конъюнкция Х^У истинна в том и только в том случае, когда высказывания Х и У истинны.

Например, х: 2<3 и у: 3<4, то Х^У: 2< 3< 4.

Высказывание Х^У в данном случае истинно, т.к. истинны оба высказывания Х и У.

Двойное неравенство 3< 4< 2 – ложно, т.к. 3< 4 – истинно, то 4< 2 – ложно.

Таблица истинности конъюнкции:

Определение 3. Высказывания, составленные из данных высказываний Х и У при помощи слова “или”, называют суммой (дизъюнкцией) высказываний и обозначают Х+У или ХÚУ.

Сумма высказываний истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из данных высказываний.

Например, Х: завтра первая пара сопромат и У: завтра первая пара математика. Тогда ХÚУ: завтра первая пара сопромат или математика истинно, если действительно завтра будет первой парой сопромат или математика.

Таблица истинности:

Определение 4. Высказывания составленные из данных высказываний Х и У при помощи слова “если …, то”, называют импликацией и обозначают Х®У. Высказывание Х – условие (посылка), У – заключение (следствие). Импликация Х®У считается ложным высказыванием только в том случае, когда условие (высказывание Х) истинно, а заключение (высказывание У) ложно.

Например, если число 24 делится на 2 и 3, то оно делится на 7 ложно. Если Х – условие не верно, то Х®У истинно, т.к. из не верного условия вытекает все, что угодно.

Пример: Если 2 > 3, то 5 > 6 – истинно.

Таблица истинности:

Если посылка Х и импликация Х®У истинны, то истинно и заключение У. В этом случае пишут Х У и говорят, что из Х следует У.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: