ТОР 5 статей:
Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия
Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века
Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка
Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы
КАТЕГОРИИ:
- Археология
- Архитектура
- Астрономия
- Аудит
- Биология
- Ботаника
- Бухгалтерский учёт
- Войное дело
- Генетика
- География
- Геология
- Дизайн
- Искусство
- История
- Кино
- Кулинария
- Культура
- Литература
- Математика
- Медицина
- Металлургия
- Мифология
- Музыка
- Психология
- Религия
- Спорт
- Строительство
- Техника
- Транспорт
- Туризм
- Усадьба
- Физика
- Фотография
- Химия
- Экология
- Электричество
- Электроника
- Энергетика
Вычитание множеств. Дополнение множества
Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностью и определяют
следующим образом.
Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
Разность множеств А и В обозначают А\В. Тогда, по определению, имеем: А\В={х\хÎ А и хÏ В).
Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то разность А \В изобразится заштрихованной областью (рис. 10).
В школьном курсе математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмножеством другого, при этом разность множеств А \В называют дополнением множества В до множества А, и обозначают символом В¢А, а наглядно изображают так, как представлено на рисунке 11.
| Рис. 10 | Рис. 11 |
Определение. Пусть В Ì А. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее все элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.
Как уже было сказано, в случае когда В Ì А, А\В = В¢А.
Из определения следует, что В¢А - {х | х Ì А и х Ï В}.
Выясним, как находить дополнение подмножества на конкретных примерах.
Если элементы множеств А и В перечислены и В Ì А, то, чтобы найти дополнение множества В до множества А, достаточно перечислить элементы, принадлежащие множеству А и не принадлежащие множеству В. Так, если А = {1, 2, 3, 4, 5}, а В = {2, 4}, то В¢А = {1, 3, 5}.
В том случае, когда указаны характеристические свойства элементов множеств А и В и известно, что В Ì А, то множество В¢А задают также с помощью характеристического свойства, общий вид которого «х Î А и х Ï В». Так, если А - множество четных чисел, а В - множество чисел, кратных 4, то В¢А - это множество, содержащее такие четные числа, которые не делятся на 4. Например, 22 Î В¢А, так как 22 Î А (т.е. оно четное) и 22 Ï В (т.е. оно не кратно 4).
Вычитание - это третья операция над множествами, с которыми мы уже познакомились. Нам известно, что пересечение множеств более сильная операция, чем объединение. А как быть с вычитанием? Например, каков порядок выполнения действий в выражении А\В Ç С? Условились считать, что пересечение - более «сильная» операция, чем вычитание. Поэтому порядок выполнения действий в выражении А\В Ç С такой: сначала находят пересечение множеств В и С, а затем полученное множество вычитают из множества А.
Что касается объединения и вычитания множеств, то их считают равноправными. Например, в выражении А\В È С надо сначала выполнить вычитание (из А вычесть В), а затем полученное множество объединить с множеством С.
Вычитание множеств обладает рядом свойств. В частности, можно доказать, что для любых множеств А, В и С справедливы следующие равенства:
1) (А\В)\С = (А\С)\В;
2) (АÈВ)\С = (А\С)È(В\С);
3) {А\В)ÇС = (АÇС)\(ВÇС);
4) А\(ВÈС) = (А\В)Ç(А\С);
5) А \ (В Ç С) = (А \В) È (А \ С).
Упражнения
1. Сформулируйте условия, при которых истинны следующие высказывания:
а)5ÎА\В; б)7 Ï А\В.
2. Известно, что х Î А \ В. Следует ли из этого, что:
а) х Î А; б) х Î В?.
3. Найдите разность множеств А и В, если
а) А = {1,2, 3,4, 5, 6}, В = {2, 4, 6, 8, 10};
б ) А = {1,2, 3,4, 5, 6}, В = Æ;
в) А = {1,2,3,4,5,6}, В ={1,3,5};
г) А = {1,2,3,4,5,6}, В ={6,2,3,4,5,1}.
4. В каких случаях, выполняя упражнение 3, вы находили дополнение множества В до множества А?
5. Даны множества: А - натуральных чисел, кратных 3, В - натуральных чисел, кратных 9.
а) Сформулируйте характеристическое свойство элементов множества В¢А.
б) Верно ли, что 123 Î В'А, а 333 Ï В¢А?
6. Найдите дополнение множества Y до множества X, если:
а) Х- множество точек прямой АВ, Y- множество точек отрезка АВ;
б) X - множество точек квадрата, Y - множество точек круга, вписанного в этот квадрат;
в) Х- множество прямоугольников, Y-множество квадратов.
7. Из каких чисел состоит дополнение:
а) множества натуральных чисел до множества целых;
б) множества целых чисел до множества рациональных;
в) множества рациональных чисел до множества действительных.
8. Постройте три круга, изображающие три попарно пересекающихся множества А, В и С, и выделите каким-либо образом области, представляющие множества:
а)АÈВ\С; в) А\СÈВ\С; д) А\(ВÈС);
б) А\ВÇС; г) А\ВÈС; е) (А\В)ÇС.
Для каждого случая выполните отдельный рисунок.
9. Проиллюстрируйте при помощи кругов Эйлера, что для любых множеств А, В и С верны равенства:
а) А \(ВÈ С) = (А \ В) Ç (А \ С); б) А\(ВÇС) = (А \В)È(А\С);
в) (АÈВ)\С = (А\С)È (В\С); г) (А \В)ÇС = (А Ç С)\(ВÇС).
10. А - множество натуральных чисел, кратных 7, В – множество натуральных чисел, кратных 3, С - множество четных натуральных чисел. Из каких чисел состоят множества:
а) (АÇВ)\С; в) АÇ\С\В;
б) (А ÈВ)\С; г) СÈВ\А?
11. О какой операции и над какими множествами идет речь в следующих задачах:
а) У Коли 10 книг, 2 книги он подарил товарищу. Сколько книг осталось у Коли?
б) В зале было 100 стульев. После того как вынесли несколько стульев, в зале осталось 86 стульев. Сколько стульев вынесли из зала?
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: