Главная | Случайная
Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Вычитание множеств. Дополнение множества




Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностью и определяют

следующим образом.

Определение.Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Разность множеств А и В обозначают А\В. Тогда, по определению, имеем: А\В={х\хÎ А и хÏ В).

Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то разность А \В изобразится заштрихованной областью (рис. 10).

В школьном курсе математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмножеством другого, при этом разность множеств А \В называют дополнением множества В до множества А, и обозначают символом В¢А, а наглядно изображают так, как представлено на рисунке 11.

 

 

Рис. 10 Рис. 11
   

 

 

Определение. Пусть В Ì А. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее все элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

Как уже было сказано, в случае когда В Ì А, А\В = В¢А.

Из определения следует, что В¢А - {х|х Ì А и х Ï В}.

Выясним, как находить дополнение подмножества на конкретных примерах.

Если элементы множеств А и В перечислены и В Ì А, то, чтобы найти дополнение множества В до множества А, достаточно перечислить элементы, принадлежащие множеству А и не принадлежащие множеству В. Так, если А = {1, 2, 3, 4, 5}, а В = {2, 4}, то В¢А = {1, 3, 5}.

В том случае, когда указаны характеристические свойства элементов множеств А и В и известно, что В Ì А, то множество В¢А задают также с помощью характеристического свойства, общий вид которого «х Î А и х Ï В». Так, если А - множество четных чисел, а В - множество чисел, кратных 4, то В¢А - это множество, содержащее такие четные числа, которые не делятся на 4. Например, 22 Î В¢А, так как 22 Î А (т.е. оно четное) и 22 Ï В (т.е. оно не кратно 4).

Вычитание - это третья операция над множествами, с которыми мы уже познакомились. Нам известно, что пересечение множеств более сильная операция, чем объединение. А как быть с вычитанием? Например, каков порядок выполнения действий в выражении А\В Ç С? Условились считать, что пересечение - более «сильная» операция, чем вычитание. Поэтому порядок выполнения действий в выражении А\В Ç С такой: сначала находят пересечение множеств В и С, а затем получен­ное множество вычитают из множества А.

Что касается объединения и вычитания множеств, то их считают равноправными. Например, в выражении А\В È С надо сначала выполнить вычитание (из А вычесть В), а затем полученное множество объединить с множеством С.

Вычитание множеств обладает рядом свойств. В частности, можно доказать, что для любых множеств А, В и С справедливы следующие равенства:

1) (А\В)\С = (А\С)\В;

2) (АÈВ)\С = (А\С)È(В\С);

3) {А\В)ÇС = (АÇС)\(ВÇС);

4) А\(ВÈС) = (А\В)Ç(А\С);

5) А \ (В Ç С) = (А \В) È(А \ С).

 

Упражнения

1. Сформулируйте условия, при которых истинны следующие высказывания:

а)5ÎА\В; б)7 Ï А\В.

2. Известно, что х ÎА \ В. Следует ли из этого, что:

а) х Î А; б) х ÎВ?.

3. Найдите разность множеств А и В, если

а) А = {1,2, 3,4, 5, 6}, В = {2, 4, 6, 8, 10};

б) А = {1,2, 3,4, 5, 6}, В = Æ;

в) А = {1,2,3,4,5,6},В={1,3,5};

г) А = {1,2,3,4,5,6},В={6,2,3,4,5,1}.

4.В каких случаях, выполняя упражнение 3, вы находили дополнение множества В до множества А?

5.Даны множества: А - натуральных чисел, кратных 3, В - натуральных чисел, кратных 9.

а) Сформулируйте характеристическое свойство элементов множества В¢А.

б) Верно ли, что 123 Î В'А, а 333 ÏВ¢А?

6. Найдите дополнение множества Y до множества X, если:

а) Х- множество точек прямой АВ, Y- множество точек отрезка АВ;

б) X - множество точек квадрата, Y - множество точек круга, вписанного в этот квадрат;

в) Х- множество прямоугольников, Y-множество квадратов.

7. Из каких чисел состоит дополнение:

а) множества натуральных чисел до множества целых;

б) множества целых чисел до множества рациональных;

в) множества рациональных чисел до множества действительных.

8. Постройте три круга, изображающие три попарно пересекающихся множества А, В и С, и выделите каким-либо образом области, представляющие множества:

а)АÈВ\С; в)А\СÈВ\С; д)А\(ВÈС);

б)А\ВÇС; г)А\ВÈС; е)(А\В)ÇС.

Для каждого случая выполните отдельный рисунок.

9. Проиллюстрируйте при помощи кругов Эйлера, что для любых множеств А, В и С верны равенства:

а) А \(ВÈС) = (А \ В) Ç(А \ С); б) А\(ВÇС) = (А \В)È(А\С);

в) (АÈВ)\С = (А\С)È (В\С); г) (А \В)ÇС = (А Ç С)\(ВÇС).

10. А - множество натуральных чисел, кратных 7, В – множество натуральных чисел, кратных 3, С - множество четных натуральных чисел. Из каких чисел состоят множества:

а) (АÇВ)\С; в) АÇ\С\В;

б) (А ÈВ)\С; г) СÈВ\А?

11. О какой операции и над какими множествами идет речь в следующих задачах:

а) У Коли 10 книг, 2 книги он подарил товарищу. Сколько книг осталось у Коли?

б) В зале было 100 стульев. После того как вынесли несколько стульев, в зале осталось 86 стульев. Сколько стульев вынесли из зала?

 




Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2019 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных