Свойства пересечения и объединения множеств

Из школьного курса математики известно, что операция, при помощи которой находят сумму чисел, называется сложением. Над числами выполняют и другие операции, например умножение, вычитание, деление; при этом результат умножения чисел называют произведением, деления - частным, т.е. для операций над числами и результатов этих операций существуют разные термины. Для рассмотренных операций над множествами ситуация иная: операции, при помощи которых находят пересечение и объединение множеств, называются соответственно пересечением и объединением.

Из школьного курса математики нам также известно, что операции над числами обладают рядом свойств. Например, сложение действительных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами: для любых действительных чисел а и b справедливо равенство а + b=b+а, а для любых чисел а, b и с - равенство (а + b)+ с = а + (b + с).

Аналогичными свойствами обладает умножение действительных чисел. Кроме того, для сложения и умножения выполняется распределительное свойство: для любых действительных чисел а, Ь и с справедливо равенство: (а + b)× с =а× с + b× с.

Выясним, обладают ли «похожими» свойствами пересечение и объединение множеств.

Если обратиться к определениям пересечения и объединения множеств, то можно увидеть, что в них не фиксируется порядок оперирования множествами. Например, выполняя объединение, можно к элементам одного множества присоединить элементы другого, а можно поступить наоборот: к элементам второго множества присоединить элементы первого. (При этом надо только помнить, что в новом множестве не должно быть повторяющихся элементов.) Аналогичная ситуация и в случае, когда выполняется пересечение множеств. Это означает, что пересечение и объединение множеств обладают переместительным, или, как говорят в математике, коммутативным свойством: для любых множеств А и В выполняются равенства: А Ç B = В Ç А и АÈ В=ВÈА.

Пересечение и объединение множеств обладают также сочетательным, или ассоциативным, свойством: для любых множеств А, В и С выполняются равенства:

(А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С) и (А È В) È С = А È (В È С).

Заметим, что назначение скобок в этих записях то же, что и в записях операций над числами.

Свойство ассоциативности для пересечения и объединения множеств не столь очевидно, как свойство коммутативности, и поэтому нуждается в доказательстве. Но прежде можно эти свойства проиллюстрировать при помощи кругов Эйлера. Рассмотрим, например, ассоциативное свойство пересечения множеств. Изобразим множества А, В и С в виде трех попарно пересекающихся кругов (рис. 9).

В выражении (А Ç В) Ç С скобки определяют следующий порядок действий: сначала выполняется пересечение множеств А и В - оно показано на рисунке 9, а вертикальной штриховкой, а затем находят пересечение полученного множества и множества С. Если выделить множество С горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, будет изображать множество

(А Ç В) Ç С.

Представим теперь наглядно множество А Ç (В Ç С). В соответствии с указанным порядком действий сначала надо найти пересечение множеств В и С - на рисунке 9,6 оно показано вертикальной штриховкой, а затем выполнить пересечение множества А с полученным множеством. Если отметить множество А горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, и будет изображать множество А Ç (В Ç С).

Видим, что области, представляющие на рисунке 9 множества (А Ç В) Ç С и А Ç (В Ç С), одинаковы, что и подтверждает справедливость свойства ассоциативности для пересечения множеств.

Аналогично можно проиллюстрировать свойство ассоциативности и для объединения множеств.

В чем важность ассоциативного свойства пересечения и объединения множеств? Во-первых, можно находить пересечение и объединение трех множеств, зная, как это делать для двух. Во-вторых, на основании этого свойства в выражениях А È (В Ç С), (А Ç В) Ç С, А È(В È С), (А È В) È С можно опускать скобки и писать А È В È С или А È В È С, что облегчает запись.

Рассмотрим строгое доказательство свойства ассоциативности одной из операций над множествами, например объединения, т.е. докажем, что для любых множеств А, В и С справедливо равенство (А È В) È С = = А È (B È С).

Чтобы доказать равенство двух множеств, надо убедиться в том, что каждый элемент множества (А È В) È С содержится в множестве А È (В È С), и наоборот.

1. Пусть х - любой элемент множества (АÈB) È С. Тогда, по определению объединения,

х Î A È В или х Î С.

Если х Î А È B, то, по определению объединения, х Î А или х Î В. В том случае, когда х Î A, то, также по определению объединения, х Î А È (В È С).

Если х Î В, то имеем, что х Î В È С, а значит, х Î AÈ (В È С). Случай, когда х Î A и х Î В, сводится к рассмотренным. Таким образом, из того, что х Î А È В, следует, что х Î А È (В È С).

Если х Î С, то, по определению объединения, х Î B È С, и следовательно, х Î А È (B È C).

Случай, когда х Î АÈВ и х Î С, сводится к рассмотренным выше.

Итак, мы показали, что каждый элемент множества (А È В) È С содержится и в множестве А È (В È С), т.е. (A È В)È С Ì А È (B È С).

2. Пусть у - любой элемент множества А È (B È С). Тогда, по определению объединения, у Î A или у Î B È С.

Если у Î А, то, по определению объединения, у Î A È B и, следовательно, y Î А È (B È С).

Если у Î B È С, то y Î B или у Î С. В том случае, когда у Î В, то y Î A È B и,

значит, y Î (A È B) È С. Когда же у Î С, то у Î (А È B) È С. Случай, когда y Î B и y Î С, сводится к уже рассмотренным.

Итак, мы показали, что каждый элемент множества А È (B È С) содержится в множестве

(А ÈB) È С, т. е. А È (В È С) Ì (A È B) È С.

Согласно определению равных множеств заключаем, что (A È В) È С=А È (B È С), что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается и ассоциативное свойство пересечения множеств.

Взаимосвязь пересечения и объединения множеств отражается в распределительных, или дистрибутивных, свойствах этих операций.

Таких свойств два:

1. Пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство

(А È В) Ç С = (А Ç С) È (В Ç С).

2. Объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство

(А Ç B) È С = (А È С) Ç (B È С).

Заметим, что если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение. В связи со сказанным запись дистрибутивного свойства пересечения относительно объединения можно упростить, опустив скобки в правой части равенства.

Убедиться в справедливости сформулированных свойств можно путем доказательства, которое аналогично доказательству свойства ассоциативности объединения.

Проиллюстрировать свойства дистрибутивности можно, используя круги Эйлера.

Если провести аналогию с действиями над числами, то можно увидеть, что дистрибутивное свойство пересечения относительно объединения сопоставимо с распределительным свойством умножения относительно сложения при условии, что в качестве операции, аналогичной пересечению, рассматривать умножение, а для объединения – сложение.

Но для дистрибутивного свойства объединения множеств относительно пересечения аналогичного свойства над числами нет.

Действительно, наличие такого свойства означало бы, что для всех чисел выполняется равенство а×b + с = (а + с)×(b + с), что невозможно. Подмеченное отличие говорит о том, что наряду с тем, что пересечение и объединение множеств обладают рядом свойств, аналогичных свойствам сложения и умножения чисел, операции над множествами обладают свойствами, которых нет у операций над числами.

Завершая рассмотрение свойств пересечения и объединения множеств, отметим еще следующее.

Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств:

А₁ÇА₂ Ç... Ç А_п = {х | х Î А₁ и х Î А₂ и... и х Î А_п),

A₁ÈA₂ È... È A_n = {х | х Î A₁ или хÎA ₂ или... или хÎ А_n}.

Аналогично можно поступить и по отношению к рассмотренным свойствам данных операций.

Упражнения

1. Известно, что х Î А Ç В. Следует ли из этого, что

А)х Î В Ç А; б) хÎ А È В; в) х Î B È A?

2. Определите порядок выполнения действий в следующих выражениях:

а) A È B È С; в) A Ç B È C Ç D

б) А È В Ç С; г) А È В È С È D.

3. Постройте три круга, представляющие попарно пересекающиеся множества А, В и С, и отметьте штриховкой области, изображающие множества:

а) А Ç В Ç С; в) (А Ç В) È С; д) А È В Ç С;

б) А È В È С; г) (А È B) Ç С; е) (A È C) Ç (B È C).

Для каждого случая сделайте отдельный рисунок.

4. Проиллюстрируйте, используя круги Эйлера, следующие свойства:

а) ассоциативности пересечения множеств;

б) дистрибутивности пересечения относительно объединения множеств;

в) дистрибутивности объединения относительно пересечения множеств.

5. Среди следующих выражений найдите такие, которые представляют собой равные множества:

а) Р Ç М Ç K; в) Р Ç M È РÇ К; д) Р È (М Ç K);

б) РÇ (М È К); г) (PÇ М)Ç К; е) (М È Р) Ç (Р È К).

6. Даны множества: А - натуральных чисел, кратных 2; В - натуральных чисел, кратных 3;

С- натуральных чисел, кратных 5.

а) Изобразите при помощи кругов Эйлера данные множества и отметьте штриховкой область, изображающую множество АÇВÈС.

б) Сформулируйте характеристическое свойство элементов этого множества и назовите 3 элемента, которые ему принадлежат.

в) Верно ли, что А È В Ç С = (А È В) Ç (А È С).

7. Даны множества: Х -двузначных чисел, V- четных натуральных чисел, Р - натуральных чисел, кратных 4.

а) Укажите характеристическое свойство элементов каждого из множестве A и В, если А = Х Ç YÇР, В - X Ç(YÇР).

б) Изобразите множества X, Y и Р при помощи кругов Эйлера и покажите области, представляющие множества А и В (для каждого случая выполните отдельный рисунок).

в) Верно ли, что 24 Î А, а 23 Î B?

8. A - множество треугольников, B - множество ромбов, С - множество многоугольников, имеющих угол 60°. Укажите характеристическое свойство элементов множества Х = АÇÈВÇС, и начертите две фигуры, принадлежащие множеству X.

9. Докажите, что для любого множества А верны равенства:

а) AÇÆ = Æ; в) АÇА=А;

б) АÈÆ = А; г) АÈА=А.

10. Верно ли, что если А Ì В, то

а) АÇВ=А; б)AÈB = B?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: