Коллинеар векторлар. 7 страница

51. Гиперболаның канондық теңдеуі. Анықтама. Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтықтарының айырмасының абсолюттік шамасы тұрақты 2а -ға тең болатын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орындарын гипербола деп атайды.

Гиперболаның канондық теңдеуі былай жазылады:

(6.4)

Мұндағы , - гиперболаның нақты жарты өсі, жорымал жарты өсі, гиперболаның эксцентриситеті, болғандықтан . Егер гиперболаның нүктесі шексіздікке ұмтылғанда нүктесінен түзуге дейінгі қашықтық нөлге ұмтылса, онда мұндай түзуді гиперболаның асиптотасы дейді. Гиперболаның асимптоталарының теңдеулері: және , мұндағы және гиперболаның жарты өстері. гиперболаның директрисаларының теңдеуі. Гиперболаның директрисалары оның төбелерінің арасында жатады

52. Параболаның канондық теңдеуі.. Анықтама. Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтықтарының қосындысы тұрақты шама болатын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орындарын эллипс деп атайды.

Анықтама бойынша , мұндағы және - фокустар деп аталатын берілген нүктелер, -эллипстің бойындағы кез келген нүкте, -тұрақты шама.

Егер десек, онда , . Енді осы мәндерді теңдеуіне қойып, түрлендіріп, эллипстің канондық теңдеуін аламыз:

(6.3)

мұндағы эллипстің үлкен жарты өсі, оның кіші жарты өсі болады. ны табу үшін эллипстің бойынан нүктесін аламыз. болғандықтан немесе болады. Пифагор теоремасы бойынша . Осыдан деп белгілейміз. қатынасын эллипстің эксцентриситеті деп атайды. болғандықтан . эллипстің директрисаларының теңдеуі. Ол эллипстің сыртында жатады.

53. Екінші ретті беттердің канондық теңдеулері. Екінші ретті беттер деп, координаталар жүйесінде екінші дәрежелі теңдеулермен берілетін беттерді айтады.

Екінші ретті беттердің қасиеттері техникада, құрылыс негіздерінің конструкцияларында сонымен бірге күн сәулесінің қуатын от қуатына айналдыру мақсатында қолданылады.

Мысалы, шағылыстыру айналары, түрлі прожекторлар параболоидтың қасиеттеріне, ал бір қуысты гиперболоидтың түзу сызықты жасаушылары болу қасиеттерін құрылыста қолданады. Ал сфералық айналарды қолданып, өмірдің түрлі қажетіне пайдаланады.

1. Сфера. Бекрілген нүктеден бірдей қашықтықта орналасқан

кеңістіктегі нүктелердің геометриялық орындарын сфералық немесе шар беті деп атайды.Егер сфераның центрі С(a,b,c) нүктесі және оның бетіндегі кез келген нүкте жылжымалы нүктесі M(x,y,z) болса, онда анықтама бойынша CM=R, R-сфераның радиусы.

Кеңістіктегі екі нүктенің арасындағы қашықтықтың формуласы бойынша

немесе - сфераның канондық теңдеуі.

2.Цилиндр. Цилиндр перпендикулчрлық қимасындағы сызықтың түріне қарай төрт түрге бөлінеді: дөңгелек, эллипстік, гиперболалық, және парболалық цилиндр болып, осыған сәйкес цилиндр тік бұрышты координаталар жүйесінде төрт түрлі теңдеумен анықталады:Бұл төрт теңдеу жазықтықта шеңберді, эллипсті, гиперболаны және паболаны кескіндейді, ал кеңістікте дөңгелек, эллипстік, гиперболалық және параболалық цилиндрлейді кескіндейді.Сонымен цилиндр (цилиндрлік бет) дегеніміз шеңбер, элллипс, гипербола, параболалардың бойымен олардың жазықтықтарына перпендикуляр болып өтетін түзу сызықтардың үздіксіз қозғалысынан шығатын екінші ретті беттер.Осы шеңбер, эллипс, гипербола, және парабола цилиндрлердің бағыттаушылары, ал цилиндрдің беттерінде жатқан түзулер олардың жасаушылары деп аталады.

3.Конус. Конус деп берілген нүктеден өтетін және бағыттаушы қисықтың бойымен жылжитын жасаушы түзудің үздіксіз қозғалысынан шығатын бетті айтады.

Конустың бағыттаушысы эллипс, ал жасаушы түзуі координаталардың бас нүктесінен өтсін. Сонда конустың теңдеуі:

болады.Мұндағы z=c конусты XOY жазықтығына параллель қиып өтетін жазықтық. Ал егер a=b болса, онда конустың перпендикулярлық қимасы шеңбер болады:

- айнымалы концстың теңдеуі. Төбесі координаталардың бас нүктесінде апликата осіне симметриялы екінші ретті конустық беттің теңдеуі.4.Айналу беттері. Егер кеңістікте бір сызық берілген осьті айналса, оның айналуынан бет п.б.Айналушы сызықтың формасына байланысты бет әр түрлі болады. Мысалы, егершеңберөзініңдиаметрібойыншаайналса, сфералық бет шығады, ал координаталарбасынанөтетінтүзу OZ осінайналса, дөңгелек конус п.б. Сызықтыңайналатыносінайналуосі, ал пайдаболғанбеттіайналубетідепатайды.Бізге YOZ жазықтығындажатқан L сызығытеңдеуіменберілсін. Осы сызықтың OY осінайналғандапайдаболғанбеттіңтеңдеуін табу үшінсолсызықтыңтеңдеудегі y – тіөзгертпей, z – тіөрнегіменалмастырукерек. Сонда айналубетініңтеңдеуімынандайболады:Басқаосьтердіайналғандапайдаболғанбеттердің де теңдеулеріосығанұқсастабылады. Яғни, егерберілгенсызық OZ осіненайналса, ондаайналубетініңтеңдеуіболады.

5. Айналу эллипсоиды.Үшосьті эллипсоид. YOZ жазықтығындатеңдеулеріменберілгенэллипсті OZ осіменайналдырғаннаншыққанбеттіайналу эллипсоид депатайды.6. Бірқуысты гиперболоид. Бізге YOZ жазықтығындаорналасқан гипербола теңдеуіменберілсін.

Осы гиперболаны OZ осіненайналдырсақбірқуысты гиперболоид депаталатынайналубетішығады. Оныңтеңдеуі

болады.

Осы айналугиперболоидындеформацияласақ, яғни

десек, ондамынатүргекеледі:

Осы теңдеуменанықталатынбеттібірқуысты гиперболоид депатайды. Айнымалыбірқуыстыгиперболоидтыңбірқуыстыгиперболоидтанайырмашылығыоның XOZ жазықтығына параллель жазықтықпенқимасы эллипс емесшеңберболады.

Екінші ретті қисықтың жалпы теңдеуі

Теорема. (6.6) теңдеуі әрқашан не шеңберді (егер ), не эллипсті (егер ), не гиперболаны (егер ), не параболаны (егер ) анықтайды. Бұл жағдайларда эллипс (шеңбер) нүктеге немесе жорымал эллипске (шеңберге), гипербола қиылысатын түзулердің жұбына, парабола параллель түзулердің жұбына айналуы мүмкін.

1-мысал. теңдеуін канондық түрге келтіру керек.

эллипстің теңдеуі.

Осыдан деп белгілесек эллипстің канондық теңдеуі, Бұл жүйенің басы нүктесінде орналасқан.

54. Функцияның анықтамасы. Функция немесе функциялық тәуелділік ұғымы түрлі шамалар, экономикалық көрсеткіштер арасындағы байланыстарды моделдейтін математиканың маңызды ұғымы.

Анықтама. Х жиынының әрбір х элементіне () белгілі бір заң немесе ереже бойынша У жиынының у элементі сәйкес қойылса, онда Х жиынында функция берілген деп атайды. х және у шамаларының арасындағы функциялық тәуелділікті y=f(x) деп белгілейді, мұндағы х - аргумент(тәуелсіз айнымалы), у – функция(тәуелді айнымалы), f – ереже немесе заң.

Берілген функция анықталатын х аргументтерінің жиынын функцияның анықталу облысы деп, ал сәйкес у айнымалылардың жиынын функцияның мәндер жиыны деп атайды. Әдетте анықталу облысын D(f) деп, ал мәндер жиынын E(f) деп белгілейді.

Функция түрлі тәсілдермен берілуі мүмкін. Ең көп және маңызды берілу түрлері: аналитикалық(формула түрінде), кестелік және графиктік. Мысал ретінде заттың бағасы (р) мен сол затқа деген сұраныс (q) арасындағы байланысты қарастырайық:

Кестеден көрініп тұрғандай, заттың бағасы артқан сайын, оған деген сұраныс төмендейді екен. Бұл байланысты графиктік түрде де беруге болады.

Заттың бағасы мен сұраныс арасында түзу сызықты p=kq+b байланыс байқалады. Берілген мәндерді пайдаланып бұл байланысты табу қиын емес: .

Кестенің төменгі жолындағы сұраныстың мәндерін q орнына қойсақ жоғары жолдағы бағаның сәйкес мәндері шығып отырады. Сонымен, функцияның аналитикалық берілуінен оның кестелік және графиктік түрлерін оңай алуға болады екен.

55. Аралықта өсетін және кемитін функциялар. 2. Аралықта өсетін және кемитін функциялар

Анықтама. сегментінде (аралығында) анықталған функциясы үшін , болғанда теңсіздігі орындалса, онда осы аралықта өспелі (кемімелі) функция деп аталады.

Функция аралықта өспелі немесе кемімелі болса, онда бұл аралық монотондық аралық, ал функциясы осы аралықта монотонды деп аталады.

Мысал. функциясы аралығында монотонды және: интервалында кемімелі, ал интервалында өспелі.

56. Жұп және тақ функциялар. 3. Жұп және тақ функциялар.

f(х₁)< f(х₂) теңсіздігі орындалса, функция өспелі (3 а-сурет),

f(х₁) > f(х₂) теңсіздігі орындалса, функция кемімелі (3 б-сурет),

f(х₁) f(х₂) теңсіздігі орындалса, функция кемімейтін (3 в-сурет),

f(х₁) f(х₂) теңсіздігі орындалса, функция өспейтін (3 г-сурет)

деп аталады.

3 а-сурет 3 б-сурет 3 в-сурет 3 г-сурет

Егер қандай да бір аралықта функция не тек өспелі немесе тек кемімелі болса, оны осы аралықта монотонды (бірсазды) деп айтады.

58. Күрделі функция. 1. Шенелген функция. Егер функцияның анықталу облысындағы кез келген х үшін қандай да бір М нақты сан табылып f(x)<M теңсіздігі орындалса функция жоғарыдан шенелген, ал f(x)>M теңсіздігі орындалса функция төменнен шенелген деп аталады (2 а,б-сурет).

Егер функцияның анықталу облысындағы кез келген х үшін қандай да бір М нақты сан табылып | f(x)|<M теңсіздігі орындалса функция шенелген деп аталады (2 в-сурет).

2 а-сурет 2 б-сурет 2 в-сурет

2. Жұп және тақ функция. Егер функцияның анықталу облысындағы кез келген х үшін f(-x)=f(x)

3. Периодты функциялар. Егер функцияның анықталу облысындағы кез келген х үшін

f(x+Т)=f(x) теңдігі орындалатындай Т сан табылса функция периодты деп аталады. Осындай Т сандардың ең кішісі функцияның негізгі периоды деп аталады. Мысалы, y=sin(x), y=cos(x) (бұлардың негізгі периоды 2 ), y=tg(x), y=ctg(x) (бұлардың негізгі периоды ) - периодты функ.

4. Бірсазды (монотонды) функциялар. Егер функцияның анықталу облысындағы кез келген х₁, х₂ (х₁< х₂) мәндер үшін

f(х₁)< f(х₂) теңсіздігі орындалса, функция өспелі (3 а-сурет),

f(х₁) > f(х₂) теңсіздігі орындалса, функция кемімелі (3 б-сурет),

f(х₁) f(х₂) теңсіздігі орындалса, функция кемімейтін (3 в-сурет),

f(х₁) f(х₂) теңсіздігі орындалса, функция өспейтін (3 г-сурет)

деп аталады.

3 а-сурет 3 б-сурет 3 в-сурет 3 г-сурет

Егер қандай да бір аралықта функция не тек өспелі немесе тек кемімелі болса, оны осы аралықта монотонды (бірсазды) деп айтады.

5. Кері функция. y=f(x) функциясының кері функциясын табу үшін алдымен х аргументті у айнымалы арқылы өрнектейміз, х=g(у), одан кейін, тәуелсіз аргумент х деп ал ал тәуелді айнымалы у деп белгілеу қалыптасқандықтан, алынған өрнектегі х пен у орындарын алмастырамыз, у=g(х). Пайда болған g(х) функция берілген f(x) функцияға кері функция болады.

Өзара кері функциялардың графигі y=x (бірінші және үшінші декарттық бұрыштардың биссектрисасы) түзуіне қарағанда симметриялы болады.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: