Коллинеар векторлар. 10 страница. Анықтама. Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған кездегі

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 91011 Следующая ⇒

Анықтама. Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған кездегі шегі функция туындысы деп аталады. Әдетте оны немесе деп белгілейді:

68. Функцияның дифференциалы. Функция шегінің анықтамасына сүйеніп туынды табу формуласын мынадай түрде көшіріп жазуға болады: ,мұндағы

Анықтама. Функция өсімшесінің сызықты бөлігі функция дифференциалы депаталады да, dy деп белгіленеді. Сонымен, Мысал ретінде y=x функциясының дифференциалын табайық: .Демек, аргумент дифференциалы оның өсімшесіне тең екен. Олай болса функция дифференциалын мынадай түрде жазамыз: (4)

Егер аргумент өсімшесі абсолют шамасы бойынша аз шама болса, онда функция өсімшесі мен дифференциалы жуық шамамен тең болады, яғни . Түрлендірейік, . Осыдан, (5). (5) формуламен функцияның мәнін жуықтап есептейді. Неғұрлым аз болса, соғұрлым формула дәлірек болады. Функцияның туындысын алуды – функцияны дифференциалдау дейді. (а;в) интервалының әрбір нүктесінде туындысы бар функцияны сол интервалда дифференциалданады дейді. Мынадай тұжырым дұрыс болады: Егер f(x) функцисы х₀ нүктеде дифференциалданса, онда функция х₀ нүктеде үзіліссіз болады.

Бірақ осыған кері тұжырым дұрыс бола бермейді. Мысалы, y= | x | функциясы x=0 нүктеде үзіліссіз. Бірақ оның x=0 нүктедегі туындысы болмайды. Шынында да, егер бар болса, туындыны мына формуламен табар едік: . Ал x=0 нүктеде

болғандықтан қатынастың шегі болмайды. Шек болмаса туындысы да жоқ.

Туындының геометриялық мағнасы. y=f(x) функциясы

х₀ нүктесінде дифференциал- дансын. Осы функцияның қатынасы бұрыштың тангенсіне тең. жағдайда . жағдайда М₀М қима функция графигіне х₀ нүктесінде жүргізілген жанамаға айналады. Ал tg жанаманың (түзудің) бұрыштық коэффициенті, яғни k= tg . Сонымен, туындының геометриялық мағнасы: туынды дегеніміз y=f(x) функция графигіне х₀ нүктесінде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті: k= tg = (2). Сонда y=f(x) функция графигіне х₀ нүктесінде жүргізілген жанама теңдеуі мынадай түрде жазылады: у - = (x-x₀)

69. Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар. Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған кездегі шегі функция туындысы деп аталады. Әдетте оны немесе деп белгілейді:

Дифференциалдау ережелері. u=u(x) және v=v(x) функциялардың әрқайсысы берілген х нүктесінде дифференциалданатын болса, онда бұл функциялардың қосындысы(айырымы), көбейтіндісі және қатынасы (v(x) 0) сол нүктеде дифференциалданады, және мына формулалар дұрыс болады:

1) 2) , C=const 3)

4) 5). f(u(x)) күрделі функция туындысы: .

6) y=f(x) функциясына кері функция (x=f ^{- 1}(y)) туындысы: .

7) Айқын емес түрде берілген функция, F(x,y)=0, туындысы: .

8) Дәрежелі-көрсеткіштік функция туындысы. Алдымен берілген теңдеудің екі жағын логарифмдейік, .

Екі жағынан туынды аламыз, .

Сонымен, .

9) Жоғары ретті туынды. туындыны функцияның 1-ретті туындысы дейді. 1-ретті туындыдан алынған туынды функцияның 2-ретті туындысы деп аталады да, деп белгіленеді. Сонымен, . Осылайша 3-ретті, т.с.с. n–ретті туындыларды анықтауға болады,

, …, .

Функция өсімшесінің сызықты бөлігі функция дифференциалы депаталады да, dy деп белгіленеді. Сонымен, Мысал ретінде y=x функциясының дифференциалын табайық: .Демек, аргумент дифференциалы оның өсімшесіне тең екен. Олай болса функция дифференциалын мынадай түрде жазамыз: (4)

Егер аргумент өсімшесі абсолют шамасы бойынша аз шама болса, онда функция өсімшесі мен дифференциалы жуық шамамен тең болады, яғни . Түрлендірейік, . Осыдан, (5). (5) формуламен функцияның мәнін жуықтап есептейді. Неғұрлым аз болса, соғұрлым формула дәлірек болады.

Функцияның туындысын алуды – функцияны дифференциалдау дейді. (а;в) интервалының әрбір нүктесінде туындысы бар функцияны сол интервалда дифференциалданады дейді. Мынадай тұжырым дұрыс болады: Егер f(x) функцисы х₀ нүктеде дифференциалданса, онда функция х₀ нүктеде үзіліссіз болады.

70. Лопиталь ережесі. f(x) және g(x) функциялары () жағдайда нолге немесе шексіздікке ұмтылсын. Егер олардың туындыларының қатынасының шегі (ақырлы не ақырсыз) бар болса, функциялар қатынасының да шегі бар болады және мына қатынас орындалады: . Лопиталь ережесін қолданып ектерді есмептейік.

1.

2.

3. Үшінші мысалда Лопиталь ережесін бірден қолдануға келмейді. Сондықтан, алгебралық түрлендіру көмегімен түріндегі анықталмағандықты немесе түріндегі анықталмағандықтарға келтіреміз. Осы мақсатпен х ² бөлімнің бөліміне түсірілді.

4. . Айталық деп белгілеп, теңдеудің екі жағын логарифмдейік. Теңдеудіңоңжағынесептейі

71. Шексіз аздарды салыстыру. Екі шексіз аз шамаларды салыстыру үшін олардың қатынасын қарастырады. - ш.а.ш. болсын, яғни және .

1. Егер болса, онда ұмтылғанда ш.а.ш.-ның аздық реттері бірдей дейді.

2. Егер болса, онда ұмтылғанда шексіз аз шамалар эквивалентті деп аталады және ~ деп белгіленеді.

Мысал. шексіз аздар ұмтылғанда эквивалентті, бұл бірінші тамаша шектің қасиетінен шығады.

Теорема. ұмтылғанда ш.а. болсын, онда:

1. ;

2. ~ ;

3. ~ ;

4. ~ ;

5. ~ ;

6. ~ , ;

Теорема. Егер ш.а.ф. –ды оларға эквивалентті функциялармен алмастырса, онда екі ш.а.ф. қатынасының шегі өзгермейді.

М ысал. ,

себебi, ~ ~ ~ ~

72. Функцияның экстремумының қажетті шарты. х₀нүктесінің - маңайы табылып, (х₀- х₀+ ), осы маңайдағы барлық х х₀ үшін f(x)>f(х₀) теңсіздігі орындалса, х₀ нүктесі f(x) функциясының минимум нүктесі деп, ал f(x)<f(х₀) теңсіздік орындалса, х₀ нүктесі f(x) функциясының максимум нүктесі деп аталады.

Функцияның минимум және максимум нүктелерін экстремум нүктелері деп атайды. Осы нүктелердегі функция мәндерін функция экстремумдары дейді.

Экстремумның бар болуының қажетті шартын Ферма теоремасы береді.

Ферма теоремасы. х₀ нүктесі y=f(x) функциясының экстремум нүктесі болып және осы нүктедегі функция туындысы бар болса, онда =0.Бұл теореманың геометриялық мағнасы: теорема шартын қанағаттандыратын нүктеде функция графигіне жүргізілген жанама абсцисса осіне параллель болады.

Экстремумның бірінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х₀нүктесінде үзіліссіз және қандай да бір - маңайында функция туындысы бар болсын (х₀нүктесінде туынды болмауы мүмкін). Онда,

1) егер х аргумент х₀ нүкте арқылы өткенде таңбасын оңнан теріске өзгертсе, онда х₀нүкте функцияның максимум нүктесі болады;

2) егер х аргумент х₀ нүкте арқылы өткенде таңбасын терістен оңға өзгертсе, онда х₀нүкте функцияның минимум нүктесі болады;

3) егер х аргумент х₀ нүкте арқылы өткенде таңбасын өзгертпесе, онда х₀нүкте функцияның экстремум нүктесі емес.

73. Функцияның экстремумының жеткілікті шарты. Теорема (экстремумнің жеткілікті шарты). Егер нүктесінде функциясының туындысы нөлге тең болса және нүктесінен өткенде таңбасын өзгертсе, онда нүктесі экстремум нүктесі болады: 1) егер таңба «плюс»-тен «минус»-ке өзгерсе, онда – максимум нүктесі; 2) егер таңба «минус»-тен «плюс»-ке өзгерсе, онда – минимум нүктесі болады.

2-мысал. функцияны экстремумге зерттеп, өсу және кему аралықтарын анықтау керек. Функция туындысы , осыдан , күдікті нүктесін табамыз. нүктесінде функцияның туындысы болмайды, сондықтан ол да күдікті нүкте. Интервалдар тәсілімен f '(x)- тің таңбаларын анықтаймыз. Функция барлық нүктелерде үзіліссіз, жеткіліктілік шарт бойынша максимум нүктесі, ал минимум нүктесі. (–¥, 0) және интервалдарда функция өседі, ал интервалда кемиді

74. Функцияның ойыстығы және дөңестігі Анықтама. Егер интервалында дифференциалданатын қисығының барлық нүктелері сол қисыққа жүргізілген жанамадан жоғары орналасса, онда онда қисықты осы аралықта ойыс (дөңестігі төмен қараған) дейді, ал қисығының барлық нүктелері сол қисыққа жүргізілген жанамадан төмен орналасса, онда қисықты осы аралықта дөңес (дөңестігі жоғары қараған) дейді. Қисықтың ойыс және дөңес бөлігін бөліп тұратын нүктені иілу нүктесі деп атайды.

Теорема. функциясы интервалында екі рет дифференциалданатын болсын. Егер осы интервалдың әрбір нүктесінде 1) болса, онда функцияның графигі бұл интервалда дөңес болады; 2) болса, онда функцияның графигі бұл интервалда ойыс болады

4-мысал. гиперболасы (0, +¥) интервалында ойыс болады, себебі , ал (–¥, 0) интервалында дөңес, себебі .

75. Функцияның графигінің асимптотасы. у= теңдеумен берілген қисықты қарайық. Аргументі х не плюс шексіздікке , не минус шексіздікке ұмтылғанда берілген функция мынадай сызықты функцияға ұмтылуы мүмкін. Сызықты функция түзуді кескіндейтіні бізге белгілі. Егер болса, онда түзуді х плюс, минус шексіздікке ұмтылғандағы у= қисықтың асимптотасы деп атайды. Бұл асимтотаны көлбеу асимптота дейді. Ал егер онда түзуді у= қисықтың горизонталь асимтотасы дейді. Ал егер (5.36) болса, онда х=х ₀түзуді у= функция графигінің тік асимптотасы деп аталады. Егер түзуі, у= функция графигінің, көлбеу асимтотасы болса, онда немесе бұл арадан

(5.37) теңдікті былай да жазуға болады

(5.38) және (5.39) теңдіктердің орындалуынан мынадай қортындыға келеміз: егер түзу мына у= қисықтың көлбеу асимптотасы болса, онда (5.38) және (5.39) теңдіктер орындалады. Керісінше, егер (5.38) және (5.39) теңдіктер орындалса, онда түзу берілген функция графигінің асимптотасы болады.

76. Анықталмаған интеграл анықтамасы және қасиеттері. f (х) функциясының алғашқы функцияларының жиыны оның анықталмаған интегралы деп аталады және деп белгіленеді, мұндағы - интеграл белгісі; f(х) – интеграл астындағы функция; f(х)dx - интеграл астындағы өрнек. Сонымен, = F(x) + C,

мұндағы F(x) – алғашқы функция, C – ерікті тұрақты. Мысалдағы, f(x)=3x² функциясының алғашқы функциясы F(x)=x³ болғандықтан, анықтама бойынша .

Берілген функцияның алғашқы функциясын табу амалы функцияны интегралдау деп аталады. Функцияны интегралдау амалы дифференциалдау амалына кері амал.

Интеграл анықтамасынан мынадай қасиеттер шығады.

1. .2. .3. = F(x) + C. 4. Берілген аралықта f(x) және g(x) функцияларының алғашқы функциялары бар болса, онда f(x) + g(x) функциясының да алғашқы функциясы бар болады және .

5. . 6. Егер = F(x) + C болса, онда = F(ax+b) + C.

7. Егер интеграл астындағы функцияның алымы бөлімнің туындысы болса, онда интеграл бөлімнің абсолют шамасының натурал логарифміне тең, яғни , мұндағы u=u(x). Анықталмаған интегралдар кестесі:

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 91011 Следующая ⇒

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: