Экстремум функции. Необходимое условие экстремума функции. Достаточное(первое и второе) условие экстремума. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Значения функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции(экстремумы функции).

Теорема(необходимое условие экстремума): для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке х0, необходимо, чтобы производная в этой точке была равна 0 или не существовала(если эта точка из области определения функции).

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума называются критическими или стационарными(точки должны входить в область определения!). Обратно утверждение неверно: критическая точка необязательно точка экстремума.

Теорема(1-е достаточное условие экстремума): если при переходе функции через точку х0 производная дифференцируемой функции y=f(x) меняет свой знак с + на -, то х0 является точкой максимума функции. Если же с – на +, то минимума.

Схема исследования функции на экстремум:

1.найти производную y'=f(x)

2.Найти критические точки: y=0 или не существует

3.Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки

4.Найти экстремум

Теорема(2-е достаточное условие экстремума): если первая производная f’(x) дважды дифференцируемой функции равна 0 в некоторой точке х0, а вторая производная в этой точке больше 0, то точка х0 – точка минимума, если меньше – точка максимума. Если же вторая производная равна 0, то ничего нельзя сказать, и нужно перейти к первому достаточному условию экстрем

Вопрос№ 50.

Выпуклость функции вверх(вниз). Необходимое и достаточное условия перегиба функции

y=f(x) называется выпуклой вниз, если (f(x1)+f(x2))/2>=f(x1+x2)/2, выпуклой вверх, если <=.Теорема: функция выпуклая вверх(вниз) на промежутке Х тогда, когда ее производная на этом промежутке монотонно убывает(возрастает).Теорема: если 2-я производная дважды дифференцируемой функции >0(<0) на нектором промежутке Х, то на нем функция выпукла вниз(вверх).Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вверх и вниз. Теорема(необходимое условие перегиба): в точке перегиба f’’(x)=0. Теорема(достаточное условие перегиба): если вторая производная при переходе через 0 меняет свой знак, то х0 – точка перегиба. Замечание: если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она является точкой перегиба.

Вопрос №51

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: