Длинна вектора и его направляющие косинусы

Длина вектора вычисляется по формуле:

(9)

Если же вектор задан координатами своих концов А и В, то длина его вычисляется по формуле:

(10)

С помощью формулы (10) находится расстояние между двумя точками А и В.

Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор составляет с осями координат: , , . Косинусы этих углов называются направляющими косинусами.

, , (11)

Направляющие косинусы являются координатами орта вектора ,

(12)

Направляющие косинусы связаны между собой соотношением:

Примеры

1) Определить, при каких значениях и векторы и коллинеарны.

Решение. Из формулы разложения вектора по ортам (3) определим координаты данных векторов: ; . Из условия коллинеарности векторов (8) получим:

.

2) Даны три последовательные вершины параллелограмма , , . Найти четвёртую вершину , противоположную вершине В.

Решение. Так как - параллелограмм, то

Из равенства векторов получим: ; ; . Следовательно,

3) Найти длину и направляющие косинусы вектора , где и .

Решение. Используя формулу (10), имеем:

Тогда по формулам (11):

, , .

4) Даны векторы и . Найти координаты вектора .

Решение. По формуле (7) найдём:

Тогда по формуле (6):

Вопросы для самопроверки

Как задаётся прямоугольная декартова система координат?

Что такоё основные орты?

Запишите формулу разложения вектора по ортам. Как определяются координаты и компоненты вектора?

Что называется направляющими косинусами вектора и как они определяются?

Как проводятся линейные операции над векторами, заданными своими координатами?

При каких условиях векторы коллинеарны?

Как находится орт вектора , заданного своими координатами?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: