Частные производные и дифференциалы высших порядков.

1. Частные производные.

Пусть задана функция f(x,y), тогда каждые из ее частных производных при условии их существования:

в свое очередь является ф-циями независимых переменных и могут также иметь производные:

; .

Эти производные f_xx, f_xy, f_yx, f_yy, называются частными производными второго порядка. Аналогично определяются и частные производные 3-ого и выше порядков:

Опр.1: Частная производная по любой из независимых переменных от частной производной порядка m-1 (m=1,2,…) называется частной производной порядка m.

Частные производные полученные дифференцированием по различным переменным называются смешанными частными производными, а по одной переменной – чистыми.

Теорема 3: Пусть функция f(x,y) определена вместе со своими частными производными f_x, f_xy, f_yx, f_y в некоторой окрестности точки (x₀, y₀) при чем f_xy и f_yч непрерывны в данной точке. Тогда они равны:

f_xy (x₀, y₀) = f_yч(x₀, y₀)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: