Достаточное условие экстремума

Замечание: критерий Сильвестра для того чтобы квадратичная форма: у которой а_ij=a_ji, i,j=1,2…n была положительно определённой необходимо и достаточно

для того чтобы была отрицательно определённой

Опр.2: Пусть ф-я f диф-ма в т х⁽⁰⁾ из Rⁿ если d¹f(x⁽⁰⁾)=0 то х⁽⁰⁾ – стационарная точка ф-ции f, очевидно, что точка х⁽⁰⁾ в которой ф-я диф-ма является стационарной тогда и только тогда, когда i=1,2…n.

Теорема 2: (достаточное условие строгого экстремума)

Пусть ф-я f определена и имеет производные 2-го порядка в некоторой окрестности т х⁽⁰⁾ пусть х⁽⁰⁾ – стационарная точка ф-ции f тогда если квадратичная форма

т.е. 2-ой диф-л ф-ции f в т х⁽⁰⁾, если квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, то х⁽⁰⁾ является точкой строгого min (max), если квадрат форма неопределенна, то в точке х⁽⁰⁾ экстремума нет.

Теорема 3: (достаточное условие экстремума для ф-ции 2-ух переменных)

Пусть ф-я f(x,y) определена и имеет непрерывные частные производные 2-го порядка в некоторой окрестности т (x₀,y₀), кот является стационарной точкой ф-ции f(x,y), т.е. fx=fy=0, тогда если в т (x₀,y₀) fxxfyy-fx²y>0 то (x₀,y₀) – точка строгого экстремума (max если fxx<0 и min если fхх>0, если в т (x₀,y₀) выражение fxxfyy-fx²y<0 то в т (x₀,y₀) экстремума нет, если fxxfyy-fx²y=0 то в т (x₀,y₀) экстремум может быть либо не быть.

Док-во: Предположим, что 2-ая производная по х¹0 (fxx¹0) тогда квадр форму запишем в виде L(dx,dy)=fxdx²+2fxydxdy+fyydy² - квадрат матрица, если fxx>0 и fxxfyy-fx²y>0 квадр форма положит определена и по теореме в т (x₀,y₀) будет минимум, если fxx<0 то квадр форма по критерию Сильвестра опред, то по теор т(x₀,y₀) будет максимум, если fxxfyy-fx²y<0 квадр форма неопред, то в т (x₀,y₀) по теор экстр нет, если fxxfyy-fx²y=0 то вопрос о экстремуме открыт, в случае когда fxx=0 fyy¹0 исслед аналогично, если fxx=0 fyy=0 то треб дополнит исследование.

Условный экстремум

Пусть на открытом множестве GÎRⁿ заданы ф-ции y_i=f_i(x), i=1,2…m, x=(x₁,x₂…x_n) где хÎG. Множество Е это множество точек хÎG в кот все ф-ции f_i, i=1,2…m, обращаются в ноль Е={хÎG½f_i(x)=0}, ур-е f_i(x)=0 i=1,2…m будем называть ур-ями связи.

Опр: Пусть на G задана ф-ция f₀(x), т x⁽⁰⁾ÎE наз точкой условного экстремума ф-ции f₀(x) относительно ур-ий связи, если она является точкой обычного экстремума этой ф-ции, рассматриваемой толко на множ Е.

В дальнейшем будем предполагать, что все ф-ции f₁,f₂…f_m – непрерывно диф-мы в открытом множестве G и в рассматр точке х₀ векторы Ñf₁,Ñf₂…Ñf_m – линейно независимы т.е. ранг матрицы равен m

Тогда в силу теоремы о неявных ф-ях система ур-ий f_i(x)=0, в некоторой окр т x⁽⁰⁾ разрешима относительно перемен х₁,х₂…х_м подставим х₁,х₂…х_м задаваемые формулой (4) в ур-е y=f₀(x), получим ф-цию от n-m переменных y=f₀(j₁(x_m+1…x_n),…,j_m(x_m+1…x_n),x_m+1…x_n)= g(x_m+1…x_n)= получим ф-цию, тогда точка х⁽⁰⁾ является точкой условного экстремума для ф-ции f₀(х), относительно ур-ий связи (3), тогда и только тогда, когда является точкой обычного экстремума для ф-ции g(x_m+1…x_n); точка обычного экстремума ф-ции g когда диф-л ф-ции g=0; это условие необходимо для условного экстремума точки х₀.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: