Вычисление объемов тел

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью с уравнением , снизу – областью D плоскости xoy, находится по формуле

. (12)

В полярной системе координат

. (13)

Если тело не является цилиндрическим, то его разбивают на цилиндрические части.

Определение. Пространственная (трехмерная) область (V) (тело), ограниченная замкнутой поверхностью S, называется правильной трехмерной областью в направлении оси oz, если она обладает следующими свойствами:

1) всякая прямая, параллельная оси oz, проведенная через внутреннюю точку области (V), пересекает поверхность S в двух точках;

2) вся область (V) проектируется на плоскость xoz в правильную область D;

3) всякая часть области (V), отсеченная плоскостью, параллельной любой из координатных плоскостей, также обладает вышеперечисленными свойствами.

Задача 10.31 [10]

Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:

, , , .

Литература: [5, гл. 8, § 1, 2], [6, т. 2, гл. 1, § 4, 7], [7, гл. 7, § 4, 6], [9, гл. 10, § 4, 9].

Решение:

Построим тело (рис. 13). Поскольку тело является цилиндрическим (, – параболические цилиндры, проходящие через ось оz) и ограничено сверху поверхностью z = 1/2 – у, то его объем вычислим по формуле (12)

.

Построим проекцию тела на плоскость xoy (область D) (рис. 14). OAC является правильной областью в направлении оси ox. В направлении оси oy требуется разбиение области D на две части вертикалью, проходящей через точку A. Поэтому будем вычислять двойной интеграл, применяя второе правило.

Рис. 13 Рис. 14

Неравенства (4) имеют вид: , .

Тройной интеграл

Определение тройного интеграла от функции трех переменных по некоторой области (V), ограниченной замкнутой поверхностью S, аналогично определению как двойного интеграла от функции двух переменных по ограниченной замкнутой области D на плоскости xoy, так и определенного интеграла функции одной переменной.

Свойства тройного интеграла также аналогичны свойствам двойного и определенного интегралов.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: