Главная | Случайная
Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Вычисление объемов с помощью тройных интегралов




 

В прямоугольной системе координат формула для вычисления объема тела имеет вид:

 

; (19)

в цилиндрических координатах:

 

; (20)

в сферических координатах:

 

. (21)

 

Задача 11.31[10]

 

Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями: , , .

Решение:

Первое уравнение – круговой цилиндр, ось цилиндра параллельна оси oz и проходит через точку (–1, 0, 0). Второе уравнение определяет параболический цилиндр. Построим тело
(рис. 20) и его проекцию (рис. 21). Проекция области (V) на плоскость xoy представляет круг с центром в точке (–1, 0), . По прямым , параболический цилиндр пересекается с плоскостью xoy.

 

Рис. 20

 

Из уравнений , получаем . По формуле (19)

 

.

 

Круговой цилиндр содержит выражение , тогда для вычисления двойного интеграла целесообразно перейти от прямоугольных координат к полярным, т.е. объем тела проще вычислять не по формуле (19), а по формуле (20) в цилиндрических координатах.

 

 

Рис. 21

 

 

Полагая в уравнении , , получим . Это уравнение окружности в полярных координатах. Так как эта окружность проходит через начало координат, то в неравенствах (6) . Эти неравенства примут вид (см. рис. 20
и 21):

 

, и .

 

Задача 12.31[10]

Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями: , , , .

Решение:

Уравнение определяет параболический цилиндр, направляющей которого является парабола с вершиной в точке (0, 7), а образующая параллельна оси oz. Ветви параболы направлены вниз, симметрично оси oy. Третье и четвертое уравнения определяют гиперболические параболоиды. Они ограничивают тело снизу и сверху. Построим проекцию тела на плоскость xoy (рис. 22).

 

 

Рис. 22

 

Фигура ABC – область D: A (–1, 5), B (0, 7), C (1, 5) Гиперболические параболоиды не пересекают границу области ABC. Объем тела проще вычислять в прямоугольной системе координат.

Для вычисления двойного интеграла следует применить первое правило, тогда пределы переменных x и y будут содержать рациональные выражения. Действительно, неравенства (2) принимают вид: , . По уравнениям гиперболоидов получим: .

 

Задача 13.31[10]

Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями: , .

Решение:

Первое уравнение определяет верхнюю половину сферы , второе – верхнюю часть конуса . Построим область (V) (рис. 23).

Найдем линию пересечения заданных поверхностей, приравнивая правые части их уравнений:

 

, ,

Получили окружность с центром в начале координат, .

 

Рис. 23 Рис. 24

 

Круг радиусом является проекцией тела (рис. 24). Объем тела проще находить по формуле (20), т.е. в цилиндрических координатах (указание, что уравнения границ области (V) содержат выражение , выполнено). Область (V) является правильной в направлении оси oz, и ее не надо разбивать на части. По уравнениям поверхностей получим:

 

.

 

Из уравнения окружности следует:

 

, .

, так как начало координат лежит в области D. Неравенства (6), определяющие пределы переменных и цилиндрической системы координат, принимают вид (см. рис. 23 и 24):

 

, .

 

Тогда

 

В полученном двойном интеграле вычислим отдельно внутренний интеграл.

 

Тогда

 

.

Задача 14.31[10]

Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:

, .

Решение:

Первое уравнение определяет параболоид вращения, второе – плоскость, параллельную оси ox (рис. 25). Приравняем их правые части, чтобы найти уравнение линии пересечения этих поверхностей.

 

, , .

Получили окружность с центром в точке (0, –1), r = 1. Круг является проекцией тела (рис. 26).

Рис. 25 Рис. 26

 

Далее поступим, как и в предыдущей задаче. Объем тела будем вычислять с помощью формулы (20) в цилиндрических координатах, , .

Тогда поверхность входа ;

поверхность выхода ; .

Уравнение окружности в полярных (цилиндрических) координатах имеет вид: .

; (см. рис. 26).

 

Задача 15.31[10]

 

Найти объем тела, заданного неравенствами:

 

, , , .

Решение:

Область (V) ограничена двумя сферами ( , ), плоскостью xoy, верхней частью конуса , плоскостью zox и плоскостью (рис. 27). Найдем уравнение линии пересечения конуса и сферы , решая систему уравнений:

 

, , , .

Получили окружность с центром в начале координат, .

Построим проекцию тела на плоскость xoy (рис. 28).

Область ABCE – область D.

 

Рис. 27 Рис. 28

 

 

Уравнения границ области (V) содержат выражения ( ), . Это указывает на целесообразность вычисления объема тела в сферических координатах. Действительно, в направлении (см. рис. 19) область (V) будет правильной в сферической системе координат, ее не надо разбивать на части, следовательно, будет один тройной интеграл.

Для цилиндрических и декартовых координат область (V) нужно разбивать на три части, правильные в направлении оси oz. Это хорошо видно из рис. 29, на котором представлено сечение тела плоскостью zoy. Следовательно, в этих координатах объем тела представляет сумму трех тройных интегралов (для декартовых координат добавляется еще и сложность вычисления определенных интегралов).

 

 

Рис. 29

 

Таким образом, отпадает вариант решения задачи по формулам (19) и (20). (Нужно ясно понимать, когда область правильная не только на плоскости xoy, но и в других координатах: полярных, цилиндрических, сферических.)

Найдем пределы для переменных , , .

Так как , то , т.е. .

 

(см. рис. 27, 28).

 

Для нахождения пределов переменной обратимся к рис. 30.

 

 

Рис. 30

 

Конус получится, если вращать прямую вокруг оси oz, , , .

Тогда .

 

 

Вычислим отдельно внутренний интеграл.

 

Далее воспользуемся формулами, связывающими обратные тригонометрические функции:

 

, .

 

.

 

.

 




Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2019 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных