Нечеткое представление неопределенных параметров

Рассмотрим некоторый неопределенный параметр , который может соответствовать вероятности, стоимости, времени или другому показателю. Для описания параметра с помощью теории нечетких множеств этот параметр необходимо преобразовать к нечеткому числу , т.е. задать функцию принадлежности.

В настоящем разделе предлагается два способа формирования функций принадлежности: трапециевидный и треугольный. Они позволяют использовать следующую экспертную информацию параметре:

· название параметра ;

· диапазон изменения значений параметра ;

· количество лингвистических термов, с помощью которых оценивается параметр ;

· название каждого лингвистического терма.

Определение 4.1. Трапециевидной формой нечеткого числа (неопределенного параметра ) будем называть четверку:

(4.1)

где - нижняя (верхняя) граница нечеткого числа на нулевом -уровне;

- нижняя (верхняя) граница нечеткого числа на единичном -уровне;

Интервал будем называть оптимистической оценкой параметра , а интервал - пессимистической оценкой параметра .

Такое представление соответствует функции принадлежности, показанной на рис.4.1, которая имеет следующий вид:

(4.2)

В этом случае носителем нечеткого числа будет интервал , а ядром - .

Предложение 4.1. Если нечеткое число задано в трапециевидной форме , то переход к -уровневому описанию

осуществляется по формулам:

(4.3)

(4.4)

Рис. 4.1. Нечеткое число с трапециевидной функцией

принадлежности

Доказательство. Для перехода к -уровневому описанию необходимо определить значение нечеткого числа на любом -уровне, т.е. найти такие и , что

,

где и - степени принадлежности элементов и нечеткому множеству , соответственно.

Учитывая аналитический вид трапециевидной функции принадлежности (4.2) и подставляя , получаем:

; .

Отсюда следует, что

, ,

Пример 4.1. Пусть вероятность () безошибочного выполнения операции равна "около 0.9". Требуется задать эту информацию в виде нечеткого числа с трапециевидной функцией принадлежности.

Решение. Согласно определению 4.1, число представим в следующем виде:

где [0.8, 1] - пессимистическая оценка параметра ;

[0.85, 0.95] - оптимистическая оценка параметра .

Разложение нечеткого числа по -уровневым множествам имеет вид:

Пример 4.1 иллюстрируется на рис. 4.2,

Рис. 4.2. К примеру 4.1

Определение 4.2. Треугольной формой нечеткого числа будем называть тройку вида:

(4.5)

где - нижняя (верхняя) граница нечеткого числа на нулевом -уровне;

- значение нечеткого числа на единичном -уровне.

Такое описание соответствует функции принадлежности, показанной на рис.4.3, которая имеет следующий аналитический вид:

Носителем нечеткого числа в этом случае является интервал , а ядром, - число . Интервал будем называть пессимистической оценкой, а число , - оптимистической оценкой параметра .

Рис. 4.3. Нечеткое число с треугольной функцией принадлежности

Предложение 4.2. Если нечеткое число задано в треугольной форме то переход к -уровневому описанию

осуществляется по формулам:

; .

Доказательство. Треугольная форма неопределенного параметра является частным случаем трапециевидной формы при . Подставляя в формулы (4.3) и (4.4), получаем:

; .

Пример 4.2. Пусть время () выполнения операции составляет " около 2 сек ". Требуется представить эту информацию в виде нечеткого числа с треугольной формой функции принадлежности.

Решение. Согласно определению 4.2, нечеткое число представим в следующем виде:

,

где [1.6, 2.2] и 2 - пессимистическая и оптимистическая оценки, соответственно, которые предполагаются известными.

Разложение числа по -уровневым множествам имеет вид:

.

Пример 4.2 иллюстрируется на рис. 4.4.

Рис. 4.4. К примеру 4.2 Рис. 4.5. Пример функций

принадлежности для термов

Определение 4.3. l-формой неопределенного параметра (нечет-кого числа ) будем называть тройку вида:

(4.7)

где - нижняя (верхняя) граница изменения параметра ;

l - лингвистическая оценка параметра диапазоне , причем .

- линейно-упорядоченное по принципу от "меньшего" к "большему" множество лингвистических термов для качественной оценки параметра (рис.4.5).

Допущение 4.1. При переходе от l -формы (4.7) нечеткого числа к трапециевидной форме (4.1) будем предполагать, следующее:

(1) носителем нечеткого числа является интервал ;

(2) размер ядра нечетного числа зависит oт мощности () терм-множества , носителя и не зависит от лингвистической переменной;

(3) для любых соседних термов и :

,

где и - нижние границы ядра нечеткого числа , выраженного лингвистическими оценками и , соответственно;

(4) для первого терма ;

(5) для последнего терма ;

Предложение 4.3. Если неопределенный параметр задан -формой нечеткого числа , где , то переход от -формы к трапециевидной форме (4.1) осуществляется по формулам:

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

где - нижняя (верхняя) граница носителя нечеткого числа , оцениваемого лингвистическим термом ;

- нижняя {верхняя) граница ядра нечеткого числа , оцениваемого лингвистическим термом .

Доказательство. Из допущения 4.1(1) следует, что для любого лингвистического терма :

и .

Учитывая, что размер ядра нечеткого числа определяется по формуле , и, опираясь на допущения 4.1(2)-4.1(5), получаем, что в интервал попадает ровно (2 -1) отрезков длиной .

Отсюда, . С учетом этого получаем:

для первого терма :

;

;

для второго терма :

;

для последнего терма :

;

.

Отсюда для любого терма :

;

.

Предложение 4.3 иллюстрируется рис.4.6.

Рис. 4.6. Переход от -формы нечеткого числа к трапециевидной форме

в случае 4-х термов

Пример 4.3. Пусть вероятность обнаружения ошибок при визуальном контроле задана в виде =<0.3, 0.8, выше средней >. При этом используется множество лингвистических оценок:

= { низкая, ниже средней, средняя, выше средней, высокая }.

Необходимо представить число в трапециевидной форме.

Решение. Количество лингвистических термов (мощность множества ) равно =5. Лингвистическая оценка " выше средней " в множестве имеет порядковый номер =4. Применяя формулы (4.8)-(4.11) из предложения 4.3, получаем:

;

;

;

.

Поэтому в трапециевидной форме:

=<0.3, 0.8, 0.63, 0.69>,

или в виде разложения по -уровневым множествам:

.

Графическое изображение нечеткого числа представлено на рис.4.7.

Рис. 4.7. К примеру 4.3

Допущение 4.2. При переходе от -формы нечеткого числа (4.7) к треугольной форме (4.5) будем предполагать следующее:

· носителем нечеткого числа является интервал ;

· для первого терма : ;

· для последнего терма : ;

· для соседних термов и () расстояние между ядрами является постоянной величиной,

где , , , - ядра нечеткого числа соответствующие термам , , , .

Предложение 4.4. Если неопределенный параметр задан -формой нечеткого числа, где , где , то переход от -формы нечеткого числа к треугольной форме (4.5) осуществляется по формулам:

(4.12)

(4.13)

(4.14)

где - нижняя (верхняя) граница носителя нечеткого числа , выраженного лингвистической оценкой ;

- ядро нечеткого числа , выраженного лингвистической оценкой .

Доказательство этого предложения аналогично тому, которое| использовалось в предложении 4.3. Предложение 4.4 иллюстрирует рис.4.8.

Пример 4.4. Пусть информация о времени выполнения контрольной операции задана -формой нечеткого числа:

= < 10, 19, высокое >.

Множество лингвистических оценок имеет вид:

= { низкое, среднее, высокое, очень высокое }.

Требуется представить число в треугольной форме.

Решение. Количество лингвистических термов (мощность множества ) равно четырем. Лингвистическая оценка < высокое > в множестве имеет порядковый номер =3. Применяя формулы (4.12)-(4.14), получаем:

; ;

.

Окончательно находим:

=< 10, 19. 16 >.

Функция принадлежности нечеткого числа показана на рис.4.9.

Рис. 4.8. Переход от -формы к треугольной в случае пяти термов

Рис. 4.9. К примеру 4.4

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: