Пр.3 Построим график функции .

ОДЗ: . Учитывая, что функция четная (функция не «чувствует» изменения знака , т. е. , произведем сужение области определения функции, ограничиваясь рассмотрением только положительных :

ОДЗ:.

Выясним поведение функции на границах области определения:

.

Добавление (-0) показывает, что предельное значение 1 достигается функцией, которая при конечных принимает значения, меньшие единицы.

Наносим значения вычисленных пределов на координатную плоскость (Рис. 7):

y y

1 1

Рис. 7 Рис. 8

X x

Предполагаемый график функции изображен на Рис. 8. График функции при всех значениях располагается ниже прямой линии . Сама прямая является горизонтальной асимптотой. График будет иметь такой вид, если функция во внутренних точках ОДЗ не имеет экстремумов. Проверим это. Найдем производную функции:

.

Ввиду того, что числитель дроби не обращается в ноль, производная функции не равна нулю, следовательно на графике отсутствуют дифференцируемые локальные экстремумы. Таким образом, предполагаемый график функции (Рис. 8) действительно являетсяграфиком функции.

Для уточнения графика найдем точки разрыва производной. Таким точкам соответствует случай обращения производной в бесконечность. Для этого знаменатель у производной должен обратиться в ноль. Единственная возможность для этого - обращение в ноль . Таким образом, при производная функции обращается в бесконечность и график функции пересекает начало координат вертикально. Учитывая последнее обстоятельство, и продолжая график функции на всю область определения, с учетом четности функции окончательно получаем искомый график (Рис. 9).

Y

x

Рис. 9

На графике имеется горизонтальная асимптота при

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: