Связанные механические колебания

В случае двух связанных маятников первая мода возникает, если в системе возбудить синфазные колебания, а другая – при возбуждении антифазных колебаний.

Найдем частоты этих мод или нормальные частоты.

Для возбуждения синфазных колебаний оба связанных маятника отклоняют на одинаковый малый угол в одну и ту же сторону от положения равновесия (рис. 10). Воспользуемся основным законом вращательного движения вокруг неподвижной оси :

или

(15)

где – момент силы тяжести; – момент силы упругости; – момент инерции маятника относительно оси , – его угловое ускорение. Так как пружина не деформирована, сила упругости, а следовательно, и ее момент . Тогда равенство (15) в скалярной форме переписывается в виде:

(16)

Знак означает, что момент силы тяжести стремится вернуть маятник в положение равновесия. Так как , , где – масса маятника; – плечо силы тяжести, то равенство (16) можно представить в виде:

(17)

, а т. к. угол мал, то и , и (17):

(18)

Разделив обе части этого равенства на , получим дифференциальное уравнение гармонического колебания для величины :

(19)

где, очевидно, – есть квадрат циклической частоты синфазных колебаний. Подставив значение , где – длина маятника, получим , следовательно, частота синфазных колебаний:

(20)

Рассмотрим антифазные колебания маятников, для чего разведем маятники в противоположные стороны на один и тот же небольшой угол . При этом пружина деформируется на величину (рис. 11).

Теперь кроме силы тяжести на маятник будут действовать силы упругости: .

В скалярной форме уравнение (15) имеет вид: (21)

Так как ,

где – расстояние от оси до связи (пружины);

– жесткость пружины. При малом уголе . Равенство (21) перепишется в виде:

(22)

Получили дифференциальное уравнение антифазных колебаний.

Здесь , или учитывается, что , – циклическая частота антифазных колебаний, а частота антифазных колебаний:

(23)

Таким образом, в рассмотренной системе возникают две нормальные моды с частотами и . Изменяя силу связи, т. е. и , можно получить очень близкие по частоте две нормальные моды. Если систему привести в движение произвольным образом, возникает сложное движение, которое будет суперпозицией двух близких мод: .

Положим начальные фазы ; если частоты складываемых колебаний близки, т. е. , то возникают так называемые биения. Эффект биения будет наибольшим, если . Тогда, используя формулу суммы косинусов , получим уравнение биения:

(23)

где – амплитуда биения, – циклическая частота биений, а – период биения.

Графически биение 1-го маятника изображены на рис. 12а. Для возбуждения биения отклоним один маятник на , а второй будем удерживать в нулевой точке. Затем одновременно отпустим оба маятника. Амплитуда колебаний (а, следовательно, и энергия ) первого маятника уменьшается, а второго – возрастает (см. рис. 12б.). Через первый маятник остановится, а второй будет иметь амплитуду . При этом энергия колебаний переходит от одного маятника к другому полностью. Этот процесс будет периодически повторятся. Один полный оборот энергии от первого маятника ко второму и опять к первому и представляет одно биение (рис. 12в). Очевидно, что этот полный оборот энергии колебаний происходит за время, равное периоду биения . Если – циклическая частота биения, то частота биения:

(24)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: