Затухающие электромагнитные колебания

Рассмотрим собственные колебания в контуре с сосредоточенными постоянными: емкостью , индуктивностью и сопротивлением -контур (рис. 2).Будем считать, что электрические процессы в контуре квазистационарны.

Это значит, что мгновенное значение тока одно и то же в любом месте контура и что к мгновенным значениям электрических величин можно применять правила Кирхгофа.

Согласно второму правилу Кирхгофа сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна сумме ЭДС, встречающихся в этом контуре. В нашем случае сумме напряжения на конденсаторе и на сопротивлении: равна ЭДС самоиндукции , которая возникает за счет изменения тока в катушке при перезарядке конденсатора:

(13)

Используем определение силы тока: и закон Кирхгофа примет вид:

Разделим обе части этого уравнения на и введем следующие обозначения: , ( - коэффициент затухания), ( – частота собственных колебаний контура при ).

Получим стандартный вид дифференциального уравнения затухающих колебаний, описывающего изменение со временем заряда на обкладках конденсатора в контуре :

(14)

Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с обыкновенными производными и с постоянными коэффициентами. Решение этого уравнения имеет различный вид в зависимости от соотношения между коэффициентам. Если ,

то решение уравнения (14) имеет вид

(15)

– заряд конденсатора в начальный момент времени, – начальная фаза. и определяются из начальных условий. Циклическая частота определяется формулой (4).

Множитель перед функцией косинуса убывает со временем по экспоненциальному закону и имеет смысл амплитуды затухающих колебаний:

(16)

Поэтому (15) есть затухающее колебание заряда на обкладках конденсатора, а (14) – соответствующее ему дифференциальное уравнение затухающих колебаний, происходящее с периодом

(17)

Период затухающих колебаний всегда больше периода собственных колебаний.

Разделив (15) на электроемкость , получим напряжение на конденсаторе:

(18)

Чтобы найти величину тока, продифференцируем (15) по времени:

Умножим и разделим это выражение на

Введем угол , определяемый условиями:

, .

Тогда можно записать

(19)

Поскольку , а , .

Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе более, чем на и менее чем на .(при на ).

График функции (15) изображен на рисунке 2. Графики для напряжения и величины тока имеют аналогичный вид.

Колебательный контур часто характеризуют добротностью , которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания

(20)

Добротность колебательной системы характеризует ее способность сохранять энергию колебаний. Она пропорциональна отношению энергии колебаний системы в произвольный момент времени к убыли этой энергии за период:

(21)

Предположим теперь, что сопротивление контура велико, так что

.

В этом случае частота , выражаемая формулой (4), будет мнимой. Это значит, электрических колебаний в контуре не будет. В этом случае решение дифференциального уравнения (14) имеет вид:

(22)

где , , а и

постоянные, так как , то и оба вещественны и положительны.

Значения постоянных определяются начальными условиями задачи:

.

Это дает ,

после чего решение (22) принимает вид

(23)

На рисунке 4 изображены графически оба слагаемых этой формулы (пунктир) и их сумма (сплошная линия). Вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора. Если сопротивление контура очень велико, так что , то и в последнем выражении можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым, а в знаменателе по сравнению с . Тогда .

Из сказанного видно, что для возникновения колебаний в контуре необходимо, чтобы выполнилось условие . Подставляем вместо и их значения, находим условие возникновения колебаний в виде: или .

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим

(24)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: