Тензор напряжения и деформации.

В теории упругости в рамках сплошной среды вводятся понятия тензоров напряжения и деформации.

Рассмотрим тензор деформации.

Задана сплошная среда, которая под действием внешнего воздействия деформируется – реакция на внешнее воздействие. Под действием внешних сил точка сместилась на вектор смещения . У другой точки будет смещение .

Если до деформации расстояние между точками было , то после деформации стало . Изменение от до характеризует реакцию.

или

- тензор.

Тогда

,

где .

- симметризация по индексам i,j.

Таким образом, если рассмотреть в различных направлениях, то тензор показывает относительное удлинение отрезка при внешнем воздействии.

Предполагаются малые деформации, тогда - малая величина:

- безразмерная величина.

Рассмотрим , т.е. рассмотрим удлинение вдоль оси х, тогда вследствие деформации относительное удлинение:

Здесь было учтено:

, т.к. - малый параметр.

Тогда , например, - относительное удлинение провода, оттянутого вдоль оси х.

Можно придать смысл всем компонентам тензора.

- это диагональные компоненты тензора, которые можно интерпретировать как относительные удлинения. Недиагональные элементы – это изменение формы тела.

Например:

Относительное изменение объема .

При малых деформациях:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: