Упругие волны в изотропной среде.

Сила внутренних напряжений , тогда

,

где - плотность, а - ускорение. Тогда уравнение движения имеет вид:

Воспользуемся законом Гука , тогда:

, (*)

здесь учтена симметрия компонент тензора модулей упругости.

Для изотропной среды . В компонентах:

, (**)

где - коэффициент Ламэ.

Подставляя (**) в (*) находим уравнение движения изотропной среды:

Рассмотрим простейший случай, когда смещение неограниченной изотропной среды является функцией только от одной координаты . Тогда получаем волновые уравнения для отдельных компонент вектора :

,

где

Тогда

Выражение (1) определяет волну с продольной поляризацией.

Выражение (2) определяет волну с поперечной поляризацией.

Их скорости распространения будут различные:

(***)

Тогда в рассматриваемом случае упругая волна представляет собой три независимо распространяющиеся волны – две поперечные и одна продольная.

Из (***) видно, что , т.е. скорость распространения продольных волн всегда больше, чем для поперечных.

Скорости и часто называют продольной и поперечной скоростями звука.

Для поперечных волн и , т.е. поперечные волны не связаны с изменением объема.

Для продольных волн и , т.е. эти волны сопровождаются сжатиями и расширениями. Здесь подразумевалось:

- относительное изменение объема при деформации.

Уравнение (*) можно записать в операторной форме:

Для изотропной среды:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: