Відкриті множини метричних просторів та їх властивості

Нехай - метричний простір, - елемент простору, .

Множина називається відкритою кулею з центром у точці і радіусом .

Множина називається замкненою кулею з центром у точці і радіусом .

Множина називається сферою з центром і радіусом .

Множину називають -околом точки .

В метричному просторі можна ввести означення відстані між його підмножинами,а саме, якщо , то .

Означення відстані між підмножинами дозволяє ввести означення -околу підмножини А метричного простору. А саме, якщо міститься в М, то

Нехай М - метричний простір, U – підпростір простору М, називають відкритою множиною, якщо або U – пуста множина, або будь-яка точка з U входить в U разом з деяким своїм -околом. Тобто

Твердження 1: Нехай М – метричний простір, , тоді:

1. Відкрита куля - відкрита множина.
2. - відкрита множина.

Доведення: Нехай .

Покажемо, що

Нехай тоді

Таким чином, .

Оскільки то весь цей окіл належить

1 пункт доведено.

Нехай

Нехай тоді за аксіомою трикутника, маємо:

Таким чином,

Оскільки то весь цей окіл належить

Все доведено.

Теорема 2 (властивості відкритих множин метричного простору):

Нехай М – метричний простір, тоді сукупність усіх відкритих множин простору М задовольняє наступним властивостям:

1. Пуста підмножина та вся множина М є відкритими.
2. Об’єднання будь-якої кількості відкритих підмножин простору М є множиною відкритою.
3. Перетин будь-якої скінченної сукупності відкритих підмножин з М – відкрита множина в М.

Доведення: 1. За означенням відкритої множини пуста множина є відкритою, а будь-яка точка з М входить у простір М з будь-яким своїм околом. Тому М – також відкрита.

1. Нехай - деяка сукупність відкритих множин простору М

Покажемо, що U – відкрита множина М.

Нехай , тоді

Оскільки - відкрита, то

Але за означенням об’єднання:

Таким чином, U – відкрита.

1. Нехай за означенням перетину:

Оскільки підмножини - відкриті, то . Нехай

Таким чином, кожна точка U входить в U разом з деяким своїм околом U – відкрита підмножина.

Зауваження: Перетин нескінченної сукупності відкритих підмножин метричного простору може бути відкритим.

Розглянемо відкриті підмножини:

не є відкритою підмножиною, оскільки ніякий окіл числа 1 не попадає в множину (0,1].

Твердження 2: Підмножина U множини М є відкритою тоді і тільки тоді, коли U є об’єднанням деякої сукупності відкритих куль з М.

Доведення: Нехай U є об’єднанням деякої сукупності відкритих куль. За твердженням 1 кожна ця куля є відкритою підмножиною, тоді за властивістю 2 попередньої теореми: U – також відкрита підмножина з М.

Нехай U – відкрита підмножина з М, тоді за означенням відкритої підмножини:

Оскільки - відкриті кулі, то твердження доведено.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: