Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители

Пусть дана невырожденная матрица A размера N × N. Представим ее в виде произведения A=B·C, где B ·и C – треугольные матрицы вида

, ,

т.е. при k > i, при k < i, , i, j =1, 2, …, N.

Преобразуем сумму для вычисления элементов матрицы A двумя способами.

Отсюда находим

при

при i < j.

Матрицы B ·и C найдены. Решение системы уравнений Ax=B·Cx = f с произвольной матрицей A сводится к последовательному решению систем By = f, Cx = y с треугольными матрицами. Построение матриц B ·и C и нахождение y=B^-1 f соответствуют прямому ходу метода Гаусса, а решение уравнений Cx = y – его обратному ходу.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: