Метод неопределенных коэффициентов

Пусть для функции y= f (x) в n +1 точках x ₀, x ₁, …, x_n из отрезка [ a, b ] известны значения y_i = f (x_i) i =0, 1, …, n. Требуется найти .

По заданным значениям x_i, y_i построим полином Лагранжа

(3)

Тогда можно записать

, (4)

где R_n – ошибка квадратурной формулы (4). С помощью формулы (3) получаем квадратурную формулу

, (5)

где , i =0, 1, …, n. (6)

Если пределы интегрирования a и b являются узлами интерполирования, то квадратурная формула (5) называется формулой замкнутого типа, иначе – открытого типа.

Для вычисления коэффициентов A_i заметим, что 1) A_i не зависят от функции f (x); 2) для полинома степени k ≤ n формула (5) является точной, в частности, она точна для y = xⁿ.

Полагая y = x^k (k =0, 1, …, n) в формуле (5), получим линейную систему n +1 уравнений относительно коэффициентов A ₀, A ₁, …, A_n, которая имеет вид

, где (8)

Из системы (8) можно определить A ₀, A ₁, …, A_n, причем определитель системы (8) есть определитель Вандермонда и равен .

Заметим, что при применении этого метода фактическое построение полинома Лагранжа является излишним.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: