II пара уравнений Максвелла в интегральной форме.

Вторая пара уравнений Максвелла имеет вид

.

Разберем сначала первое уравнение:

.

Проинтегрировав его по , получим

.

Неравенство нулю данного интеграла означает, что число линий напряженности , входящих в поверхность, в общем случае не равна числу линий, выходящих из нее. Это зависит от наличия и знака зарядов внутри поверхности.

С помощью данного уравнения можно достаточно легко вычислить напряженность электрического поля, создаваемого заряженным телом.

В качестве примера рассмотрим шар радиуса , заряженный положительно зарядом . На самом деле следует рассмотреть два случая, когда рассматривается поле вне шара и внутри него.

Вне равномерно заряженного шара поле сферически симметрично. Выберем замкнутую поверхность в виде сферы радиусом (рис.3.6.). Уравнение Максвелла в интегральной форме выглядит как

.

В следствие сферической симметрии на всех точках выбранной сферы поле будет одинаково. Более того, векторы и сонаправлены:

,

а следовательно

.

Тогда уравнение можно переписать как

,

откуда следует, что

.

Собственно, получено уже известное выражение для поля однородно заряженного шара.

Внутри шара поле также сферически симметрично. Выбрав сферическую поверхность внутри шара () (рис.3.7.), применим к системе то же уравнение:

.

Или, иначе,

для .

Таким образом, напряженность растет с ростом внутри шара, а затем вне шара спадает как (рис.3.8.).

Второе уравнение второй пары уравнений Максвелла в дифференциальной форме имеет вид:

.

Проинтегрировав его по незамкнутой поверхности с учетом теоремы Стокса получим выражение

и

,

где - полная плотность тока:

.

( - плотность омического тока, - плотность тока смещения.)

Если омический ток связан с перемещением зарядов, то ток смещения связан с переменными полями.

С помощью этого уравнения Максвелла в данном виде можно, например, вычислять напряженности магнитных полей проводников с током.

Рассмотрим для простоты постоянный ток в проводнике круглого сечения прямолинейной формы.

Как и в предыдущем примере с шаром, рассмотрим два случая – вне проводника и внутри него.

Будем считать, что электрический ток равномерный и постоянный. Окружим проводник поверхностью, которая будет иметь больший радиус, чем проводник (рис.3.9.). Запишем уравнение для данного случая:

.

Из симметрии видно, что на всех точках окружности радиуса напряженность будет одинакова (). Также из симметрии видно, что вектора и сонаправлены. Исходя из этих рассуждений можно записать, что

(если ток постоянный, то ). Таким образом, получаем

,

откуда напряженность магнитного поля равна

.

Если теперь рассматривать поверхность с радиусом (рис. 3.10), то очевидно, что по всей этой поверхности . Найдем поле внутри проводника. Уравнение принимает вид

.

Соответственно, выражение для тока в данном случае будет иметь вид

.

Следовательно, для напряженности магнитного поля внутри проводника имеем

.

Объединив оба случая ( и ) с учетом того условия, что на границе поля должны быть равны, получим зависимость значения поля от расстояния от центра проводника, которую схематично можно изобразить так, как это сделано на рис. 3.11.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: