Интерполяционная формула Лагранжа. Построим формулу для произвольного расположения узлов интерполирования

Построим формулу для произвольного расположения узлов интерполирования. Пусть на отрезке заданы значений , в которых известны значения некоторой функции . Построим полином , для которого выполняются равенства

. (1.5)

Решим сначала вспомогательную задачу и построим полином степени , удовлетворяющий условию

. (1.6)

Из условия (1.6) следует, что полином имеет корней в узлах . Следовательно, он может быть записан в виде

.

Так как , то для получим выражение

. (1.7)

Очевидно, что тогда полином можно записать в виде

. (1.8)

Формула (1.8) называется интерполяционной формулой Лагранжа.

Обычно формулу Лагранжа записывают в другом виде. Рассмотрим полином степени

.

Для первой производной справедливо выражение

.

С учетом введенных обозначений полином Лагранжа можно записать в виде

. (1.9)

Пример

Построить полином Лагранжа для функции заданной таблично:

Из таблицы видно, что полином Лагранжа третьей, так как n=3.

Проверка: , , .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: