Квадратурная формула трапеций

Для повышения точности интегрирования отрезок часто делят на несколько частей, затем применяют избранную квадратурную формулу к каждой отдельной части и результаты складывают. Этот метод является общим, и им можно пользоваться при применении всякой квадратурной формулы. Для многих формул интерполяционных квадратур погрешность зависит от величин отрезка интегрирования следующим образом

, (5.10)

где – медленно изменяющаяся функция от до и . Такая зависимость показывает, что если мы уменьшим отрезок интегрирования в раз, то при этом уменьшится приблизительно в раз. Для вычисления интеграла по всему отрезку разделим его на равных частей и вычислим при помощи выбранной формулы интегралы по всем частичным отрезкам. В каждом случае погрешность будет приблизительно в раз меньше, чем (5.10). При сложении всех таких интегралов получится результат, погрешность которого будет приблизительно в раз меньше, чем погрешность (10), когда формула применяется для вычисления интеграла по всему отрезку . Если , то произойдёт уменьшение погрешности тем больше, чем больше . Описанный способ увеличения точности применим сейчас к простейшим формулам Ньютона-Котеса.

Пусть , тогда линейное интерполирование выполняется по двум значениям и , принимаемым функцией на концах и . Квадратурная формула (5.8), с учетом коэффициентов из таблицы, будет иметь вид

(5.11)

Это формула трапеций.

Погрешность ее, в виду и определяется по формуле

.

Если – непрерывная функция на , и так как множитель сохраняет знак на , то по теореме о среднем, существует на такая точка , что

. (5.12)

Для увеличения точности формулы трапеций (5.11), разделим отрезок на равных частей длины . Рассмотрим частичный отрезок . Для него получим

и согласно (5.12)

.

, (5.13)

где

Величина есть среднее арифметическое из значений второй производной. Считая ее непрерывной функцией на , мы можем выбрать такую точку , что

,

а значит, величина погрешности может быть определена по формуле

. (5.14)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: