Методические указания. Статистическая оценка означает, что выводы относительно статистических параметров (средней, дисперсии

Статистическая оценка означает, что выводы относительно статистических параметров (средней, дисперсии, коэффициента вариации) генеральной совокупности делаются на основе изучения выборочных данных. Исследуемый параметр генеральной совокупности при этом может быть охарактеризован одним числом (точечная оценка), либо указывается интервал, в котором он находится с определенной вероятностью (интервальная оценка). Как точечная, так и интервальная оценка предполагают, что сначала значения соответствующих параметров определяются по выборке. Такие значения носят название оценок.

При точечной оценке параметра генеральной совокупности (Q ₀) его значение приравнивается к оценке (Q _в), но в силу того, что оценка определена с использованием случайно сформированной выборки она (оценка) обязательно должна быть дополнена показателем ее средней ошибки (m_Q). Алгоритм расчета средней ошибки зависит от того, для какого параметра она рассчитывается. В итоге результаты точечной оценки параметра ге­неральной совокупности записываются следующим образом: Q_о = Q _в со средней ошибкой m _Q = а.

При интервальной оценке параметра генеральной совокупности так­ же, как и при точечной, сначала необходимо определить его значение по выборке, т.е. оценку. Значение оценки принимается за центр интервала. Далее устанавливается величина случайной предельной ошибки оценки (Е_Q), на основе которой и устанавливаются границы интервала. В нем с некоторой гарантией (доверительным уровнем вероятности) находится значение исследуемого параметра в генеральной совокупности. Следовательно, интервальная оценка параметра генеральной совокупности предполагает следующую запись: Q_о = Q _в E_Q или Q_в – E_Q Q_о Q_в + E_Q,

где (Q - E_Q) - нижняя граница интервала,

(Q + E_Q) - верхняя граница интервала.

При расчете предельных значений ошибки используется формула: E_Q =m _Q. t _р

где m _Q- средняя ошибка оценки; t _р - коэффициент (нормированное отклонение), зависящий от гарантии (доверительного уровня вероятности) того, что исследуемый параметр генеральной совокупности не выйдет за установленные границы интервала. Отсюда следует, что для расчета предельных границ ошибки вначале следует найти среднюю ошибку оценки, затем определиться с гарантией (доверительным уровнем вероятности) и в зависимости от ее величины использовать соответствующий коэффициент.

В практических исследованиях гарантия (доверительный уровень вероятности) берется не ниже 0.90 (0,90; 0,95; 0,99; 0,999), Порядок нахождения коэффициента (нормированного отклонения) зависит от численности выборки, которая используется для статистической оценки параметра генеральной совокупности. При n 30 коэффициент определяется из таблицы «Значение интеграла вероятностей при разных значениях t», так как ошибки оценок при выборках численностью более 30 единиц распределяются в соответствии с законом нормального распределения. * (приложение 1) и его величина зависит только от доверительного уровня вероятности. При численности выборки менее 30 единиц следует воспользоваться таблицей «Значение двухстороннего критерия t –Стьюдента» (приложение 2), где значение коэффициента зависит не только от доверительного уровня вероятности, но и от численности выборки (степеней свободы вариации).

Статистические гипотезы относительно тех или иных свойств статистических совокупностей (законов распределения, параметров распределения) могут быть проверены по данным выборочного наблюдения. С этой целью необходимо выдвинуть так называемую нулевую гипотезу (Н₀). Решение о принятии или отказе от нулевой гипотезы должно быть основано на сопоставлении фактического значения того или иного математического критерия (критерия t- нормального распределения, t - Стьюдента, F - распределения, и др.) с его критическим значением. При выборе критерия необходимо учитывать характер решаемой задачи по проверке гипотезы, объем выборок и др. условия. В результате проверки по данным выборок нулевую гипотезу следует принять, если фактическое значение критерия попадает в область допустимых значений критерия. Если же оно попадает в критическую область, от нулевой гипотезы следует отказаться.

Проверка гипотез относительно распределений по критерию χ² – Пирсона имеет три области применения:

1) как критерий согласия, по которому проверяется согласие (соответствие) фактического выборочного распределения известному теоретическому распределению. При этом теоретическое распределение может быть представлено в виде функции (например, функции нормального распределения, распределения Пуассона и т.п.) или в виде теоретического соотношения частот n _i (например, соотношения 3:1 или 9:3:3:1).

2) как критерий независимости, по которому проверяется независимость распределения частот совокупности (n _i) по одному признаку от распределения частот этой совокупности по другому признаку.

3) как критерий однородности, по которому проверяется, однородны ли по структуре частот две совокупности, распределенные по одному признаку.

В соответствии с выбранной областью применения критерия выдвигается нулевая гипотеза (H_o) относительно свойств одного или двух распределений. Далее устанавливается область применения критерия и по данным выборочной совокупности определяется фактическое значение критерия (χ² _факт). При доверительном уровне вероятности суждения и численности выборки (числу степеней свободы) по таблицам определяется теоретическое значение критерия χ² _таб. . При сравнении χ² _факт и χ² _таб определяем, в какой области (критической или согласия) находится выборочное значение критерия. Если χ² _факт ≤ χ² _таб, выборочное значение находится в области согласия, нулевая гипотеза принимается. Напротив, если χ² _факт ≥ χ² _таб, выборочное значение находится в критической области и нулевая гипотеза должна быть отвергнута, а следовательно- принята альтернативная гипотеза.

Проверка статистических гипотез относительно одной - средних величин по данным двух выборок может быть проведена по параметрическому критерию t – Стьюдента (по малым выборкам п ‹ 30) или t- нормального распределения по выборкам достаточно большого объема (п ).

С целью проверки необходимо сформулировать нулевую гипотезу (Н₀) относительно средних величин. Она может быть основана на предположении, что выборки взяты из генеральных совокупностей с равными средними величинами: Н₀: или Н₀: . Проверяемой (нулевой) гипотезе противостоит некоторая альтернативная гипотеза (Н_А), которая может быть сформулирована в общем виде как Н_А: (ненаправленная гипотеза) или Н_А: (направленная гипотеза).

Фактическое (выборочное) значение критерия рассчитывают следующим образом: t_факт. = , где - обобщенная средняя ошибка двух выборочных средних.

Фактическое значение критерия необходимо сопоставить с критическим значением при заданном уровне значимости (.) Если выборочное значение критерия попадает в критическую область (t _факт. > ), нулевая гипотеза о равенстве средних должна быть отвергнута; если же выборочное значение критерия попадает в область допустимых значений (t _факт. ), нулевую гипотезу следует принять.

Нулевая гипотеза о равенстве средних в двух генеральных совокупностях может быть проверена путем сравнения разности между выборочными средними () с предельной случайной ошибкой (наибольшей случайной величиной-НСР) при заданном уровне значимости (). Если разность между выборочными средними находится в пределах НСР (), нулевую гипотезу следует принять. Если же разность между средними по выборкам выходит за пределы НСР (), нулевая гипотеза должна быть отвергнута.

В конкретных задачах при выборе алгоритма расчетов по критерию t – Стьюдента необходимо учитывать:

1) схему формирования выборок (выборки независимые или зависимые);

2) равенство или неравенство объемов выборок;

3) равенство или неравенство дисперсий в генеральных совокупностях.

Так как выборочные дисперсии, как правило, неравны, в ходе проверки статистических гипотез относительно средних величин в двух генеральных совокупностях необходимо проверить гипотезу относительно их дисперсий при помощи критерия F - распределения. Допустим, что нулевая и альтернативная гипотезы сформулированы следующим образом: Н₀ : ;

Н_А: .

Для проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий в генеральных совокупностях следует определить фактическое (выборочное) значение критерия F как отношение выборочных дисперсий F_факт.= где s₁²>s₂²) и сравнить его с критическим значением при заданном уровне значимости (F ). Если фактическое значение критерия попадает в область допустимых значений (F_факт.<F ), нулевая гипотеза о равенстве дисперсий в генеральных совокупностях принимается. Если же фактическое значение критерия попадает в критическую область (F_факт. ), от нулевой гипотезы следует отказаться.

В случае, когда дисперсии генеральных совокупностей неравны, число степеней свободы вариации определяется с учетом поправки: , где п ₁ и п ₂ - численности выборочных совокупностей, а s₁² и s₂² - дисперсии выборочных совокупностей.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: